# 二次剩餘

本節點採odd prime p上的nonzero convention：a mod p非零且等於某個nonzero square時為quadratic residue。

mko-quadratic-residue · definition · v0.10.0



## 數學敘述

a先normalize至0,...,p-1；zero class另列，不稱nonzero quadratic residue。對odd prime p，每個nonzero residue有兩個distinct opposite roots x與-x。p=2、composite modulus及zero不得靜默混入；本節點不預先使用Euler criterion或Legendre symbol。





## 代表公式（精確 TeX）

Q(a,p)





## 成立條件


- positive families完整枚舉x=1,...,p-1 squares。
- p為bounded odd prime，a為safe integer。





## 符號作用域


- Q — 二次剩餘述詞
- a — 剩餘類候選
- p — 奇質數模數





## 直觀、定義與常見誤解

complete nonzero square table決定membership。

roots成x與-x pair。

zero/even/composite boundaries分開。

把0算入nonzero residues，或在composite modulus照搬two-root結論。





## 已採用的推導導讀

[完整模7平方表](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-quadratic-residue-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [自然數模同餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-modular-congruence/) — square congruence。
- [自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-prime-number/) — odd prime domain。
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-root/) — square operation。





## 驗證界線

Euler criterion與Legendre symbol留待後續節點。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入Legendre symbol。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/quadratic-residue.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-residue/index.md)