# 商拓撲

滿射q:X→Y使U⊆Y恰在q逆像開時為開，從而賦予Y商拓撲。

mko-quotient-topology · definition · v0.10.0



## 數學敘述

finite models先驗q為total surjection並完整列出fibers。定義tau_q={U⊆Y:q^{-1}(U)∈tau_X}，直接枚舉並驗拓撲公理、q的連續性與final-property：h:Y→Z連續當且僅當h∘q連續。只有saturated open subsets of X能作商開集的完整逆像；直接取open images一般錯誤。對任何total map（含非滿射），上述完整逆像的「當且僅當」條件仍唯一決定Y上的final topology；只有要求q連續則通常不唯一。未被命中的點不妨礙preimage-iff定義，但依此節點採用的慣例，非滿射q不稱為quotient map。





## 代表公式（精確 TeX）

Q(X,q,Y)=t





## 成立條件


- X、Y finite unique carriers，q為明示total surjection。
- 逆像、fiber、saturation與finite topology均完整枚舉。





## 符號作用域


- Q — 商拓撲算子
- X — 來源拓撲空間
- q — 滿射商映射
- Y — 商carrier
- t — 商拓撲





## 直觀、定義與常見誤解

作為此處的quotient map先核total surjection與fibers；一般total map的final topology仍由preimage-iff定義。

opens由完整逆像條件定義，不是任意open image。

finite final-property audit不取代一般證明。

把q的open images直接當商拓撲，或把僅要求連續誤當成完整preimage-iff條件。非滿射仍可由preimage-iff唯一決定final topology，但依此處滿射慣例不稱quotient map。





## 已採用的推導導讀

[完整逆像條件決定商拓撲](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-quotient-topology-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-space/) — 來源與商拓撲公理。
- [商集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quotient-set/) — fibers與等價類。
- [滿射與陪域覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-surjective/) — quotient-map carrier責任。
- [拓撲連續映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-continuity/) — q與final property。
- [函數合成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-composition/) — h與h∘q的final continuity criterion。





## 驗證界線

finite table只證指定quotient；Hausdorff等分離性不自動保留。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入identification spaces與quotient separation條件。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/source13-20261018-quotient-topology.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quotient-topology/index.md)