# 級數比值判別法

非零項絕對值相鄰比極限小於一時絕對收斂，大於一時發散，等於一時不判定。

mko-ratio-test-series · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

對eventually nonzero序列明示L=lim |a_(n+1)/a_n|。L<1時另取L<q<1並建立eventual geometric domination而得absolute convergence；L>1時項絕對值最終不趨零而發散；L=1時判別無結論，p-series的p=2與p=1提供相反結果。必須取absolute ratio、證明極限而非只算有限多項，zero terms與不存在的ratio limit另行處理。





## 代表公式（精確 TeX）

R(a,L)=c





## 成立條件


- 相鄰比在某個尾端定義且其絕對值極限存在。
- L與1的比較使用exact rational或明示symbolic limit certificate。





## 符號作用域


- R — 比值判別算子
- a — 級數項
- L — 絕對比極限
- c — 判別結論





## 直觀、定義與常見誤解

先核eventual nonzero與absolute ratio limit。

L<1時明示L<q<1與geometric domination；L>1與L=1另行分層。

非恆定p-series ratios提供L=1相反witness；有限ratio samples與limit不存在都不得冒充定理假設。

把L=1當收斂、忽略絕對值，或由前幾個ratio就宣稱極限。





## 已採用的推導導讀

[比值極限、幾何支配與 L=1](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-ratio-test-series-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [級數絕對收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-convergence-of-series/) — L<1的結論與級數語義。
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence-limit/) — ratio limit。
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-value/) — 絕對比。
- [級數比較判別法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-series-comparison-test/) — L<q<1後的geometric domination。





## 驗證界線

geometric與p-series witnesses不取代一般ratio-test proof。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入root test與limsup版本。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/ratio-test-series.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-ratio-test-series/index.md)