# 實指數函數

實指數函數以對每個實數絕對收斂的冪級數E(x)=sum_{n≥0}x^n/n!定義，並滿足E(x+y)=E(x)E(y)與E(x)>0。

mko-real-exponential-function · definition · v0.10.0



## 數學敘述

完整coefficient law是a_n(x)=x^n/n!。coefficient ratio 1/(n+1)趨0，因此radius為infinity且對每個實x絕對收斂。Addition law需對所有degree使用二項式係數合併Cauchy product，且重排責任由絕對收斂支撐；單一declared degree只核一個係數。E(0)=1；E(x)E(-x)=1，且E(x/2)E(-x/2)=1先給E(x/2)非零，再由E(x)=E(x/2)^2推出嚴格正。有限partial sum不是E(x)，也不由本節點自動推出導數、log、ODE唯一性、injectivity或非零有理點的exact rational value。





## 代表公式（精確 TeX）

E(x)=S(x)





## 成立條件


- partial-sum題以exact rational x與BigInt/rational factorial arithmetic計算。
- addition-law certificate分開記錄binomial coefficient identity與absolute-convergence重排依據。





## 符號作用域


- E — 實指數函數
- x — 實數參數
- S — 絕對收斂冪級數





## 直觀、定義與常見誤解

series law與finite partial sum必須分開。

全域收斂由factorial tail控制。

addition、inverse與positivity使用完整series性質，不以數值近似取代。

把有限partial sum當exact exp，或只驗幾組x,y便宣稱addition law。





## 已採用的推導導讀

[全級數的加法律與嚴格正性](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-real-exponential-function-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [無窮級數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-infinite-series/) — series定義。
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-number/) — argument domain。
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-function-mapping/) — 全實數函數。
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence-limit/) — partial sums。
- [冪級數收斂半徑](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-series-radius-of-convergence/) — radius infinity。
- [階乘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-factorial/) — n!係數。
- [級數絕對收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-convergence-of-series/) — Cauchy product與重排責任。
- [二項式定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) — addition-law係數合併。





## 驗證界線

本輪不物化log、微分方程、導數唯一性或超越性。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入標準常態分布與實指數的微分性質。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/real-exponential-function.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-exponential-function/index.md)