# 實Hilbert空間

在同一內積誘導範數與度量下完備的實內積空間為實Hilbert空間。

mko-real-hilbert-space · definition · v0.10.0



## 數學敘述

carrier、inner product、induced norm、induced metric與completeness certificate必須描述同一空間。本輪使用有限維R^n標準或正定矩陣內積的命名完備定理證書；抽樣Cauchy序列不足。





## 代表公式（精確 TeX）

H(V)





## 成立條件


- 明示有限維R^n與同一正定內積矩陣。
- 完備性使用有限維實內積空間定理；不從樣本推完備。





## 符號作用域


- H — 實Hilbert空間
- V — 同一實內積空間





## 直觀、定義與常見誤解

五個結構必須同一來源。

有限維R^n提供命名完備證書。

Hilbert不自動推出緊緻、可分或任意維性質。

混用不同norm與metric，或用有限序列樣本宣稱完備。





## 已採用的推導導讀

[同一矩陣誘導的有限維 Hilbert 證書](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-real-hilbert-space-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [實內積空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-inner-product-space/) — Hilbert先是內積空間。
- [內積誘導範數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-inner-product-induced-norm/) — norm來自同一內積。
- [範數誘導度量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-norm-induced-metric/) — metric來自同一norm。
- [完備度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-complete-metric-space/) — 所有Cauchy序列在同一空間收斂。





## 驗證界線

只涵蓋明示有限維證書；不推出compactness、separability或無限維結果。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入正交投影與Hilbert基底。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/real-hilbert-space.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-hilbert-space/index.md)