# 實內積空間

對稱且正定的實雙線性形式構成實內積；半正定或抽樣為正不足。

mko-real-inner-product-space · definition · v0.10.0



## 數學敘述

在同一實向量空間上，內積須對兩槽雙線性、對稱，且對每個非零向量x都有<x,x>>0。本輪對R^2使用整係數對稱矩陣及Sylvester條件作全稱正定證書。





## 代表公式（精確 TeX）

J(V)





## 成立條件


- 矩陣與向量完整明示；候選矩陣為2乘2整數矩陣。
- 正定性以首主子式與行列式的精確條件核對，不由有限向量樣本建立。





## 符號作用域


- J — 實內積
- V — 實向量空間





## 直觀、定義與常見誤解

雙線性、對稱、正定是三個分離責任。

R^2對稱矩陣可用Sylvester條件作全稱證書。

內積空間不自動完備。

把對稱雙線性形式或半正定形式直接叫內積，或用幾個向量樣本證正定。





## 已採用的推導導讀

[實內積空間：以 Sylvester 條件為 ℝ² 上的矩陣形式作全稱正定證書](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-real-inner-product-space-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [實雙線性形式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-bilinear-form/) — 內積先須完整雙線性。
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-order-relation/) — 正定性使用實數嚴格正值。
- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-vector-space/) — 內積定義在同一實向量空間。





## 驗證界線

只核明示R^2矩陣證書；不推出完備、Hilbert或任意維譜定理。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入內積誘導範數。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/real-inner-product-space.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-inner-product-space/index.md)