# 標準常態分布

標準常態Z以Gaussian density phi(x)=(2pi)^(-1/2)exp(-x^2/2)與其連續CDF Phi定義，並具有mean 0、variance 1。

mko-standard-normal-distribution · definition · v0.10.0



## 數學敘述

本節點把Gaussian integral normalization、E[Z]=0與Var(Z)=1明列為named theorem facts，不以有限quadrature偽造完整推導。題庫可精確處理density symbolic form、evenness、phi(x)/phi(0)=exp(-x^2/2)，以及由declared normalization與symmetry推出Phi(0)=1/2與Phi(-x)=1-Phi(x)。一般nonzero x的CDF沒有elementary exact value；finite numerical integration不證normalization或moments，continuous CDF也不自動有density或是normal law。





## 代表公式（精確 TeX）

F(t)=P(Z\le t)





## 成立條件


- 符號題固定standard normal，不引入mu或sigma參數。
- normalization與moments以明示named facts標記來源責任，非本輪有限計算結果。





## 符號作用域


- P — 底層機率空間的機率測度
- Z — 標準常態隨機變數
- F — 標準常態累積分布函數
- t — 累積分布函數的實數自變數





## 直觀、定義與常見誤解

density qualification與normalization theorem fact分開。

evenness給對稱CDF identities。

normalization與moments不由finite quadrature接受。

記號對齊候選：P 是底層機率空間上的機率測度，P(Z≤t) 是可測事件 {ω:Z(ω)≤t} 的機率；F(t) 是標準常態 Z 的 CDF 值，不是把 Z 當事件或把隨機的 F(Z) 當標量 CDF 自變數。Gaussian normalization 與 moments 的既有 named-fact 責任不變。

以幾個數值積分點宣稱Gaussian integral、mean或variance已證，或把任意continuous CDF稱normal。





## 已採用的推導導讀

[標準常態的對稱推導與named facts](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-standard-normal-distribution-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [連續實值分布函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-continuous-real-distribution-function/) — continuous CDF。
- [瑕積分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-improper-integral/) — density normalization背景。
- [實指數函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-exponential-function/) — Gaussian exponential。
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-root/) — normalization constant。
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-expectation/) — mean語義背景。
- [有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-variance/) — variance語義背景。





## 驗證界線

本輪不完整推導Gaussian integral、exp differentiation或integration by parts；這些保持named theorem facts。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入有限變異數IID中央極限定理。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/source13-20261018-standard-normal-distribution.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-standard-normal-distribution/index.md)