# 上確界與下確界

非空且有界實數集合的supremum是最小上界，infimum是最大下界，兩者未必屬於集合。

mko-supremum-and-infimum · definition · v0.10.0



## 數學敘述

s=sup A需同時證s為upper bound且不大於任何其他upper bound；inf對偶。有限有理集合提供exact slice，開區間提供未取到端點的邊界。空集、無界集合與extended-real infinity不在本輪。





## 代表公式（精確 TeX）

s=sup(A)





## 成立條件


- 普通實值版本只處理非空且相應有界集合。
- 全部有限值與區間端點以exact rationals表示。





## 符號作用域


- sup — 上確界
- inf — 下確界





## 直觀、定義與常見誤解

upper bound與leastness必須同時成立。

sup/inf不必是member。

只有實際取到時才是maximum/minimum。

把supremum一律當集合中的最大元素。





## 已採用的推導導讀

[有限最大值與未取到的區間上確界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-supremum-and-infimum-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-number/) — 順序完備carrier。
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-order-relation/) — 上下界。
- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-set/) — 被界定集合。
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quantifier/) — least/greatest全稱責任。





## 驗證界線

本輪不處理空集、無界集合或extended reals。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入monotone convergence、Bolzano-Weierstrass與IVT。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/supremum-and-infimum.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-supremum-and-infimum/index.md)