# Taylor多項式

在中心a由f的零階到n階導數值依factorial縮放組成n階Taylor多項式。

mko-taylor-polynomial · definition · v0.10.0



## 數學敘述

固定center a及order n≥0，並要求f^(k)(a)對0≤k≤n全部存在。T_n(x)=sum_{k=0}^n f^(k)(a)(x-a)^k/k!；n=0時為常數f(a)。Taylor polynomial本身不含remainder bound，也不保證無窮Taylor series收斂或等於f。若f本身是degree≤n的多項式則可exact重建；一般smooth函數不得由此外推analytic。





## 代表公式（精確 TeX）

T(f,a,n)





## 成立條件


- 正向題族以完整derivative jet或以中心冪基底給出的精確有理／整數多項式係數。
- 所有factorial division使用exact rational arithmetic，不接受浮點近似或省略center shift。





## 符號作用域


- T — Taylor多項式算子
- f — 具有有限導數jet的函數
- a — 展開中心
- n — 非負階數





## 直觀、定義與常見誤解

係數是f^(k)(a)/k!而不是裸導數。

center shift必須使用(x-a)^k。

finite polynomial不自帶remainder或analytic結論。

漏掉factorial、在錯誤center使用derivative jet，或把Taylor polynomial直接等同原函數／無窮series。





## 已採用的推導導讀

[中心平移與 factorial 的 Taylor 多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-taylor-polynomial-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [多項式的和、乘積與合成微分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-derivative-rules/) — 導數值與多項式微分。
- [一元有理係數多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial/) — 有限Taylor和的代數物件。
- [階乘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-factorial/) — k!係數縮放。
- [高階導數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-higher-order-derivative/) — 完整零至n階derivative jet。





## 驗證界線

本輪只建立有限多項式；remainder、收斂與analyticity均須另證。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入Taylor餘項定理。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/taylor-polynomial.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-taylor-polynomial/index.md)