# Taylor餘項定理

足夠高階可微函數的Taylor approximation error由Lagrange remainder與derivative bound控制。

mko-taylor-remainder-theorem · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

明示center a、point x、order n與完整polynomial coefficients，直接算Taylor polynomial與remainder。degree≤n時remainder為0；degree n+1時以constant (n+1)th derivative及strictly intermediate midpoint給exact Lagrange witness。exact boundary只接受M至少為derivative supremum的valid bound，或0≤M<D的undersized witness；負M與其他假mode拒絕。finite jet不推出一般remainder theorem、Taylor-series equality或analyticity。





## 代表公式（精確 TeX）

R(f,a,x,n)=r





## 成立條件


- polynomial instances採exact rational arithmetic。
- general theorem的interval-wide differentiability與derivative bound明示為責任。





## 符號作用域


- R — Taylor餘項
- f — 可微函數
- a — 展開中心
- x — 評估點
- n — Taylor階數
- r — 精確餘項





## 直觀、定義與常見誤解

完整計算Taylor polynomial與remainder。

zero與degree n+1 exact witness分開。

exact derivative supremum與undersized bound分層。

從中心finite jet或少數samples推出一般Taylor remainder或analyticity。





## 已採用的推導導讀

[三次多項式的精確 Lagrange 餘項](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-taylor-remainder-theorem-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [Taylor多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-taylor-polynomial/) — finite jet。
- [高階導數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-higher-order-derivative/) — interval-wide n+1 derivative。
- [微分中值定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mean-value-theorem/) — Lagrange remainder背景。
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-value/) — remainder bound。





## 驗證界線

polynomial exact cases只證指定模型。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入analytic Taylor-series convergence。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/taylor-remainder-theorem.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-taylor-remainder-theorem/index.md)