# 拓撲空間

拓撲空間由底集合與一族開集組成；開集族包含空集與全空間，並對任意聯集與有限交封閉。

mko-topological-space · definition · v0.10.0



## 數學敘述

給定集合 X，X 上的拓撲是子集合族 τ⊆P(X)，滿足 ∅∈τ、X∈τ、τ 中任意子族的聯集仍在 τ，且 τ 中任意有限子族的交集仍在 τ；(X,τ) 稱為拓撲空間。





## 代表公式（精確 TeX）

T\subseteq P





## 成立條件


- 底集合 X 已固定；τ 的每個成員都是 X 的子集合。
- 任意聯集包含空族情形，有限交包含空族情形；空族交集按 X 解讀。





## 符號作用域


- T — 代表開集族 τ
- P — 代表底集合 X 的冪集 P(X)





## 直觀、定義與常見誤解

拓撲指定哪些子集合被稱為開集；它不先指定距離。離散拓撲把所有子集合都列為開集，不可分拓撲只包含空集與全空間。

有限底集合上可以完整枚舉候選子集合族並檢查三類封閉條件；只抽查幾組聯集或交集不足以證明候選族是拓撲。

同一底集合可帶不同拓撲。比較粗細時，τ₁⊆τ₂ 表示 τ₂ 較細；這是開集族的包含關係，不是底集合大小。

把任何子集合族都當成拓撲，或把只對兩兩聯集封閉誤當任意聯集封閉。





## 已採用的推導導讀

[拓撲空間：完整驗證三點集合上的一個鏈狀開集族，並辨認非拓撲](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-topological-space-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-set/) — 底集合與開集族都以集合語義表達。
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-set-operations/) — 拓撲公理使用聯集、有限交集、空集與全空間。





## 驗證界線

有限底集合可由完整冪集枚舉精確核對；這不取代一般任意聯集公理的形式證明。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

綁定 Mathlib TopologicalSpace 的 IsOpen、univ、二元交與 sUnion 公理，並建立有限枚舉語義橋。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/topological-space.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-space/index.md)