# 一致極限保持連續

同一domain上的連續函數列若一致收斂至f，則極限函數f連續。

mko-uniform-limit-continuity-theorem · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

在共同domain上，每個f_n連續且sup_x |f_n(x)-f(x)|→0。題族用[0,1]上的affine perturbation、exact sup error與epsilon-N證書重算，並以epsilon/3 transfer把一個固定f_N的continuity傳給f。pointwise-only的x^n、uniform收斂到discontinuous limit但各項不連續、以及有限sample closeness都明示為失敗邊界。





## 代表公式（精確 TeX）

U(F,f,e)=b





## 成立條件


- 全部函數共享明示domain與codomain。
- uniform convergence的N只依epsilon，不依x；每個approximant的continuity另行成立。





## 符號作用域


- U — 一致極限定理算子
- F — 連續函數列
- f — 一致極限函數
- e — 正容許誤差
- b — 連續性結論





## 直觀、定義與常見誤解

sup error與epsilon-N量詞先於結論。

epsilon/3 transfer固定一個continuous approximant，不要求共同delta。

pointwise convergence與finite samples皆不足。

把逐點收斂或有限網格接近當成一致收斂，或漏掉每個f_n連續。





## 已採用的推導導讀

[固定一個近似函數的 epsilon/3 傳遞](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-uniform-limit-continuity-theorem-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [函數列一致收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-uniform-convergence-of-functions/) — 核心收斂假設。
- [實函數的點值與連續](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-continuity/) — 逐項與極限結論。
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-function-mapping/) — 共同domain/codomain。
- [上確界與下確界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-supremum-and-infimum/) — 整個domain上的sup error。





## 驗證界線

affine exact families只核量詞與bound；一般拓撲／度量版本仍需證明。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入uniform convergence下積分交換與導數交換的額外條件。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/uniform-limit-continuity-theorem.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-uniform-limit-continuity-theorem/index.md)