# 整數唯一質因數分解

每個n>1有prime factorization且prime multiset唯一，只允許因數次序差異。

mko-unique-prime-factorization · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

existence以well-founded/induction與完整trial division小切片驗證；uniqueness保留Euclid lemma witness p|ab implies p|a or p|b，而非只比較少數答案。整數版分離negative sign，±1為units與empty product，0沒有此prime factorization。





## 代表公式（精確 TeX）

n=\prod_{i=1}^{r}p_i^{e_i}





## 成立條件


- 主定理域為正整數n>1。
- bounded computational companions完整搜尋到sqrt(remaining)並exact驗prime與product。





## 符號作用域


- p_i — 第 i 個質因數
- e_i — 第 i 個正整數指數
- p — 有序互異質因數族
- e — 正整數指數族
- i — 有限乘積的束縛索引
- r — 互異質因數個數
- n — 待分解正整數





## 直觀、定義與常見誤解

existence與uniqueness分開。

uniqueness比較prime multisets忽略order。

units、negative sign與zero需另分支。

記號對齊候選：主定理 n>1 時，r>=1，p_1<...<p_r 為互異質數且每個 e_i 為正整數；乘積涵蓋所有質因數，不限質數冪。原有 ±1 的單位／空乘積及 0 排除界線仍保留。此代表式不自行證明存在唯一性。

只找到一個分解便稱已證unique，或把0與units套入n>1版本。





## 已採用的推導導讀

[存在、Euclid引理與唯一質因數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-unique-prime-factorization-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-prime-number/) — prime factors。
- [自然數整除](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-natural-divisibility/) — divisibility。
- [數學歸納法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mathematical-induction/) — existence。
- [Euclidean演算法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-algorithm/) — Euclid lemma支撐。
- [最大公因數與互質](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gcd-coprime/) — prime divisibility。





## 驗證界線

trial division僅在完整bounded range時構成certificate。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入p-adic valuation與Möbius function。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/source13-20261018-unique-prime-factorization.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-unique-prime-factorization/index.md)