# 弱大數律

IID且具有有限variance時，Chebyshev界給樣本平均依機率收斂到共同mean。

mko-weak-law-large-numbers · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

限明示IID通用證書、共同有限mean mu與variance sigma squared。independence先給Var(sample mean)=sigma squared/n，再用exact Chebyshev epsilon-delta tail證依機率收斂；有限模擬不足。





## 代表公式（精確 TeX）

\bar{X}_n\xrightarrow{\mathrm{P}}\mu





## 成立條件


- IID是全序列任意有限子族的symbolic certificate，不是有限樣本觀察。
- 共同mean與variance有限，epsilon與delta皆為正有理數。





## 符號作用域


- \bar{X}_n — 樣本平均
- \mu — 共同期望
- X — 同分布獨立隨機變數列
- n — 正整數樣本數





## 直觀、定義與常見誤解

independence把平均的variance縮成sigma squared/n。

Chebyshev界隨n單調趨零並給全稱tail witness。

結論只有依機率收斂，不是a.s.、CLT或有限n等於極限。

記號對齊候選：bar(X)_n=(X_1+...+X_n)/n；μ 是共同期望，箭頭上直立 P 明示依機率收斂。保留全序列 IID 與有限變異數的既有前提；不是單一 X_n 的收斂、幾乎必然收斂或有限模擬證明。

由幾次模擬或一段樣本路徑宣稱大數律已證，或把弱大數律當CLT。





## 已採用的推導導讀

[公平Bernoulli平均的Chebyshev尾端](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-weak-law-large-numbers-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [獨立同分布序列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-iid-sequence/) — independence與共同law。
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-expectation/) — 共同mean。
- [有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-variance/) — 有限variance與平均variance。
- [依機率收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convergence-in-probability/) — epsilon tail目標。





## 驗證界線

本輪採有限variance的Chebyshev版本；不宣稱最一般WLLN或strong law。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入strong law與central limit theorem的獨立前提。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/source13-20261018-weak-law-large-numbers.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-weak-law-large-numbers/index.md)