# 七輪跨域密度：代數、集合、距離、有限概率與量詞

在七個既有知識物件及其前置上深化跨域題族；保持數學來源不變，以精確有限切片核對邊界。

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## [變數與代數式](/zh-Hant/mko/mko-variable-expression/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-variable-expression) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-variable-expression)


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## [自然數冪與主平方根](/zh-Hant/mko/mko-power-root/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。

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## [有理數](/zh-Hant/mko/mko-rational-number/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

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## [集合隸屬](/zh-Hant/mko/mko-set-membership/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

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## [座標平面](/zh-Hant/mko/mko-coordinate-plane/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

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## [歐幾里得長度](/zh-Hant/mko/mko-euclidean-length/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

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## [有限樣本空間上的機率](/zh-Hant/mko/mko-probability/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

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## [有限樣本空間的實值隨機變數](/zh-Hant/mko/mko-random-variable/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

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## [命題](/zh-Hant/mko/mko-proposition/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

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## [集合](/zh-Hant/mko/mko-set/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

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## [一元有理係數多項式](/zh-Hant/mko/mko-polynomial/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

固定整數升冪係數至多3次的Q[x]切片；和與乘積输出完整正規化係數，乘積可升至6次；同一多項式雙點有序求值；p(x+c)完整係數以精確二項式展開核對。不把單點相同當多項式恆等。

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## [集合運算](/zh-Hant/mko/mko-set-operations/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

有限明示整數集合正規化重複與排序；聯／交大小對、(A\B)∪(B\A)、U\(A∪B)與(U\A)∩(U\B)的完整結果、三段有序分割。補集先要求A、B⊆明示U。只封閉此有限实例，不新增一般集合論形式證明。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-set-operations) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-set-operations)


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## [等單位正交座標的歐氏距離](/zh-Hant/mko/mko-distance-formula/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

所有向量是同一等單位正交實平面從共同原點出發的整數座標差；精確平方對、候選非負資格與平方缺陷、有三個具索引距離的含同距分組排序，以及兩個完全平方距離的整數和。不是非正交／不等尺度或Prod預設metric；不拿兩段和當另一段距離。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-distance-formula) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-distance-formula)


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## [有限模型的期望值](/zh-Hant/mko/mko-expectation/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

同一有限合法歸一化整數值模型：逐點wX向量、E[X−Y]、(E[XY],E[X]E[Y])有序對與給定均值下的正質量未知整數值反解。只有共同S與權重，不假設X/Y獨立；數值相等也不推出独立。未知slot明示null、正權重且解為整數；不做樣本估計或一般積分存在性。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-expectation) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-expectation)


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## [量詞與明示論域](/zh-Hant/mko/mko-quantifier/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

有限明示整數U及可判定大小／相等／非零整除述詞。完整真假元素分割、(¬∀P,¬∃P)、三個有序候選的域內反例资格mask，及有限U/V上(滿足∃y內條件的x數,滿足∀x內條件的y數)。空域全稱真、存在假；候選域外無资格；嵌套枚舉不交换量詞、不外推全部整數或一般一階逻輯證明。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-quantifier) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-quantifier)


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## [有限模型的條件機率](/zh-Hant/mko/mko-conditional-probability/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

S=0至n−1、全冪集、非負整數mass與明示正分母D，Σmass=D才為歸一化模型。B質量嚴格正，雙向另要求A正。枚舉交集／B概率對、雙向條件值、對全部singleton在B條件下的概率向量、候選值與真正條件值的有號缺陷。非空但mass0不能條件化；不宣稱Bayes或独立性。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-conditional-probability) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-conditional-probability)


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## [有限機率模型的變異數](/zh-Hant/mko/mko-variance/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261010%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F)

合法有限概率模型：逐項w(X−μ)²、(E[X²],μ²)精確對、先構造共模型X−Y再求其變異數，以及相對第一個正權重值的第一個正支持失配索引。不是n−1樣本估計；保留零權重異值；不把Var(X−Y)拆成兩個Var，也不聲稱協方差理論完成。

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路徑來源與狀態path-pulse-foundations-20261010 · candidate

[原始路徑 JSON](/data/architecture/learning-paths.json)