# 七輪基礎推理與幾何：歸納、計數、命題、型別與長度 在七個既有知識物件及其前置上深化跨域題族；保持數學來源不變，以精確有限切片核對邊界。 這是教學建議順序，不是一般性的邏輯依賴或已形式化證明。 - 階段 1 · required ## [自然數](/zh-Hant/mko/mko-natural-number/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261012%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-natural-number) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-natural-number) - 階段 1 · optional ## [命題](/zh-Hant/mko/mko-proposition/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261012%2F) 固定古典整數比較陳述與有號算術見證。未代入的自由變數標未封閉；相等與否定分開；候選自報真假只作待核資料，與實際真假和正式證明項分離。不建立通用邏輯語言或新形式Evidence。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-proposition) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-proposition) - 階段 1 · required ## [四則運算](/zh-Hant/mko/mko-arithmetic-operations/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261012%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-arithmetic-operations) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-arithmetic-operations) - 階段 1 · optional ## [集合隸屬](/zh-Hant/mko/mko-set-membership/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261012%2F) 有限同型別集合與完整特徵表。Fin(n)外候選只標不合型別，不盲讀謂詞；隸屬判定與插入／刪除結果、有限明示論域上的謂詞集合外延。保留Set α→Prop既有Evidence，不把程式容器當全部集合論。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-set-membership) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-set-membership) - 階段 1 · optional ## [直角三角形](/zh-Hant/mko/mko-right-triangle/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261012%2F) 候選整數角度先核正角與和180的協議，再檢90；兩個90加零角不能通過。合格直角資料標記頂點、對邊及銳角值；π有理倍數精確換算，不用容差、不取模、不把候選當已構造的非退化三角形。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-right-triangle) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-right-triangle) - 階段 1 · optional ## [歐幾里得長度](/zh-Hant/mko/mko-euclidean-length/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261012%2F) 同一等單位正交L2實平面的整數座標切片。保留有向座標差及長度平方；完全平方才給整數主距離；中點為精確有理數，兩段平方分別核對。軸上路徑與端點直線長分開，零距離不排除；不重播舊浮點參考Evidence或聲稱全部度量公理完成。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-euclidean-length) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-euclidean-length) - 階段 2 · optional ## [數學歸納法](/zh-Hant/mko/mko-mathematical-induction/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261012%2F) N從0起，分清歸納假設n與目標n+1。只核對明示整數遞推的有限前綴、仿射候選的基礎／步缺陷與有限檢查覆蓋；不把有限樣本當成任意n的歸納證明。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-mathematical-induction) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-mathematical-induction) - 階段 2 · optional ## [基本計數原理](/zh-Hant/mko/mko-counting-principle/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261012%2F) 有限選擇協議明示互斥標籤或完整有序直積，包含空分支與零選項；後續寬度可依前一步變化，候選等寬法核對資格和缺陷，不從總數巧合推得等寬或概率獨立。兩集合重疊由實際外延計數修正。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-counting-principle) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-counting-principle) - 階段 2 · optional ## [函數映射](/zh-Hant/mko/mko-function-mapping/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261012%2F) 完整有限型別上的總映射，允許空定義域及唯一空表，非空源到空陪域不可宣稱總函數。圖形、實際值域與未用陪域分開；型別外查詢標不合型別；兩張同型別總表逐點核差異。保留既有總函數core Evidence，不混作部分、有副作用或會失敗的程式函數。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-function-mapping) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-function-mapping) 路徑來源與狀態path-pulse-foundations-20261012 · candidate [原始路徑 JSON](/data/architecture/learning-paths.json)