# 七輪基礎深化：角度、數線、方程、階乘與圓邊界 在七個既有知識物件及其前置上深化跨域題族；保持數學來源不變，以精確有限切片核對邊界。 [← 返回查找結果](/zh-Hant/paths/) 這是教學建議順序，不是一般性的邏輯依賴或已形式化證明。 - 階段 1 · required ## [點、線、面](/zh-Hant/mko/mko-point-line-plane/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261014%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-point-line-plane) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-point-line-plane) - 階段 1 · required ## [有理數](/zh-Hant/mko/mko-rational-number/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261014%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-rational-number) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-rational-number) - 階段 1 · required ## [變數與代數式](/zh-Hant/mko/mko-variable-expression/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261014%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-variable-expression) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-variable-expression) - 階段 1 · required ## [自然數](/zh-Hant/mko/mko-natural-number/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261014%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-natural-number) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-natural-number) - 階段 1 · required ## [四則運算](/zh-Hant/mko/mko-arithmetic-operations/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261014%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-arithmetic-operations) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-arithmetic-operations) - 階段 1 · required ## [歐幾里得長度](/zh-Hant/mko/mko-euclidean-length/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261014%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-euclidean-length) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-euclidean-length) - 階段 1 · required ## [等單位正交座標的歐氏距離](/zh-Hant/mko/mko-distance-formula/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261014%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-distance-formula) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-distance-formula) - 階段 2 · optional ## [角](/zh-Hant/mko/mko-angle/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261014%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F) 0到180度非定向角的精確度數協議。拆分先核資格，互餘與互補分开，雙門檻殘差和三段累加只作明示算術；超180累加量不冒充本條目角，不由示意圖、射線長或定向旋轉推測量值。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-angle) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-angle) - 階段 2 · optional ## [實數](/zh-Hant/mko/mko-real-number/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261014%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F) 只核有理點在R的嵌入切片：有序中點、有限唯一點列及閉包區間、含端點的閉區間交集與分離距離、四個點的有向偏移及距離。接觸是點區間而非空；不是Cauchy完備性、無理數分類或一般連續性證明。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-real-number) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-real-number) - 階段 2 · optional ## [方程式](/zh-Hant/mko/mko-equation/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261014%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F) 給定Q上的原式雙側值、有限候選與可逆條件。乘零能改變解集；含x-h分母時先排除x=h，交乘殘差零不恢復未定義點。同量平移核兩側值及殘差，不建立通用AST或一般方程求解完備性。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-equation) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-equation) - 階段 2 · optional ## [階乘](/zh-Hant/mko/mko-factorial/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261014%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F) N從0起且0!=1，用BigInt核相鄰階乘精確比、含空乘積的窗口、候選自報的真值與遞迴缺陷、省去一次已存在因子後回乘。報告用有界正規十進整數字串，不以浮點或遞迴自洽冒充正確階乘；不聲稱排列、整除性或漸近普遍證明。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-factorial) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-factorial) - 階段 2 · optional ## [圓的邊界與座標判定](/zh-Hant/mko/mko-circle/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261014%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F) 等單位正交歐氏框架與非負整數半徑。三點平方殘差分類但圓只取邊界；軸向兩個對徑端點、半徑非負尺度乘算、水平截線平方餘量與整數候選。r=0只有中心且軸向表示折疊，負餘量不取根，不聲稱一般圓API或相似定理的形式橋。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-circle) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-circle) - 階段 3 · optional ## [一元一次方程式](/zh-Hant/mko/mko-linear-equation/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261014%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F) a非零才屬Q上一元一次方程；規一列、參數切片的退化常數等式、根周有理偏移回代與兩個一次方程的根／共同解。a=0可能全Q或無解但不是一次，有限核對不作一般線性系統或唯一性形式Evidence。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-linear-equation) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-linear-equation) - 階段 3 · optional ## [絕對值](/zh-Hant/mko/mko-absolute-value/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261014%2F%3Ffrom%3D%252Fzh-Hant%252Fpaths%252F) 只核有理嵌入的分段絕對值：負分母表示先正規化，三點距離與路徑差分開，閉半徑四點代入與有理目標的根／三候選核對。負目標無根，零根去重；有限切片非全部實數性質、三角不等式或一般不等式求解證明。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-absolute-value) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-absolute-value) 路徑來源與狀態path-pulse-foundations-20261014 · candidate [原始路徑 JSON](/data/architecture/learning-paths.json)