# 七輪線性與有限映射：向量、矩陣、方程及單滿射 在七個既有知識物件及其前置上深化跨域題族；保持數學來源不變，以精確有限切片核對邊界。 這是教學建議順序，不是一般性的邏輯依賴或已形式化證明。 - 階段 1 · required ## [實數](/zh-Hant/mko/mko-real-number/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261016%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-real-number) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-real-number) - 階段 1 · required ## [四則運算](/zh-Hant/mko/mko-arithmetic-operations/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261016%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-arithmetic-operations) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-arithmetic-operations) - 階段 1 · required ## [座標平面](/zh-Hant/mko/mko-coordinate-plane/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261016%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-coordinate-plane) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-coordinate-plane) - 階段 1 · required ## [函數映射](/zh-Hant/mko/mko-function-mapping/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261016%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-function-mapping) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-function-mapping) - 階段 1 · required ## [一元一次方程式](/zh-Hant/mko/mko-linear-equation/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261016%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-linear-equation) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-linear-equation) - 階段 1 · required ## [量詞與明示論域](/zh-Hant/mko/mko-quantifier/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261016%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-quantifier) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-quantifier) - 階段 2 · optional ## [固定基底下的平面向量](/zh-Hant/mko/mko-vector/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261016%2F) 固定標準基底下的整數向量：兩純量加權、相反差、純量和兩側與候選分量殘差。零純量与零向量合法，逐分量不當內積或長度。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-vector) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-vector) - 階段 2 · optional ## [有限矩陣的尺寸、索引與轉置](/zh-Hant/mko/mko-matrix/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261016%2F) 非空1至5行列整數矩陣：轉置再轉置、同尺寸加法的兩側轉置、三個1起算索引資格與候選轉置逐項殘差。形狀不合先拒絕求值，不當求逆或反序。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-matrix) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-matrix) - 階段 2 · optional ## [單射與不同輸入的辨識](/zh-Hant/mko/mko-injective/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261016%2F) 完整Fin總表單射：列出全部碰撞、移去一個輸入後保留原標籤、附加輸出的陪域資格與限制到明示子集合。空源单射真，碰撞必有兩個不同輸入；重複表示不當多值函數。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-injective) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-injective) - 階段 2 · optional ## [滿射與陪域覆蓋](/zh-Hant/mko/mko-surjective/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261016%2F) 完整Fin總表滿射：全纖維與漏項、更換陪域先容納全部輸出、刪輸入保原標籤後漏項、兩個候選目標的資格與首原像。空到空滿射真，空到非空不滿；值域不自動當陪域。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-surjective) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-surjective) - 階段 3 · optional ## [矩陣表示的實平面線性映射](/zh-Hant/mko/mko-linear-transformation/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261016%2F) 明示全R²到R²列向量模型Mv：基底列重建、加法兩側、純量兩側與Mv+b的零點障礙。零矩陣可以線性，有限測值不替任意函數證明線性。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-linear-transformation) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-linear-transformation) - 階段 3 · optional ## [實二階方陣的行列式](/zh-Hant/mko/mko-determinant/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261016%2F) R上2×2有號行列式：交换兩行的負號、t²縮放、通常行乘列的兩序乘積、絕對值候選誤判。實數域非零可逆不搬至整數環，負行列式不取絕對值。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-determinant) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-determinant) - 階段 3 · optional ## [二元聯立一次方程組與退化邊界](/zh-Hant/mko/mko-system-linear-equations/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261016%2F) R上整數係數的兩元兩式：有理候選逐式殘差、係數與增廣秩區分無解／唯一／無限多解、加倍列消元與第一列縮放。t=0不是可逆列操作，不能只看行列式零便稱無解。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-system-linear-equations) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-system-linear-equations) 路徑來源與狀態path-pulse-foundations-20261016 · candidate [原始路徑 JSON](/data/architecture/learning-paths.json)