# 七輪離散結構：雙射、反函數、關係、圖樹與反例 在七個既有知識物件及其前置上深化跨域題族；保持數學來源不變，以精確有限切片核對邊界。 這是教學建議順序，不是一般性的邏輯依賴或已形式化證明。 - 階段 1 · required ## [單射與不同輸入的辨識](/zh-Hant/mko/mko-injective/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-injective) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-injective) - 階段 1 · required ## [滿射與陪域覆蓋](/zh-Hant/mko/mko-surjective/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-surjective) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-surjective) - 階段 1 · required ## [函數合成](/zh-Hant/mko/mko-composition/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-composition) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-composition) - 階段 1 · required ## [仿射函數與一次函數](/zh-Hant/mko/mko-linear-function/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-linear-function) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-linear-function) - 階段 1 · required ## [集合隸屬](/zh-Hant/mko/mko-set-membership/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-set-membership) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-set-membership) - 階段 1 · required ## [集合](/zh-Hant/mko/mko-set/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-set) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-set) - 階段 1 · required ## [實數](/zh-Hant/mko/mko-real-number/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-real-number) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-real-number) - 階段 1 · required ## [有理數](/zh-Hant/mko/mko-rational-number/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-rational-number) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-rational-number) - 階段 1 · required ## [量詞與明示論域](/zh-Hant/mko/mko-quantifier/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-quantifier) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-quantifier) - 階段 1 · required ## [數學證明](/zh-Hant/mko/mko-proof/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-proof) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-proof) - 階段 2 · optional ## [雙射與唯一原像](/zh-Hant/mko/mko-bijective/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 完整Fin總表把單射、滿射與雙射分開；全纖維／碰撞／漏項、交換關係資格、交換兩個輸出標籤、基數存在性與給定表分開。相同基數不審定給定f；空到空雙射真。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-bijective) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-bijective) - 階段 2 · optional ## [二元關係與集合投影](/zh-Hant/mko/mko-relation/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) R是明示Fin來源×目標的有序對集合：完整投影／漏源、子集合像與全纖維、逆關係再逆、單值與總表分開。關係可多值或缺源；重複對與集合列項正規化，逆關係不自動給反函數。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-relation) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-relation) - 階段 2 · optional ## [實數大小與順序](/zh-Hant/mko/mko-order-relation/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) R通常全序的正原分母有理切片：有序三筆穩定排序、兩閉區間交會與端點、三個會員與有號餘量、純量正向／反向／零合併。要求實際新數值，不只換平移參數重出相同比較；不外推偏序或複數。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-order-relation) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-order-relation) - 階段 2 · optional ## [反例與論域資格](/zh-Hant/mko/mko-counterexample/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 明示有限Fin論域與完整布林述詞表：全失敗集及最小反例、三個候選的域資格、限制子域後見證是否仍有效、明示加入一個新述詞值。域外不查P也不當反例；空域全稱量化真，有限枚舉不證無限域。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-counterexample) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-counterexample) - 階段 3 · optional ## [雙射的反函數](/zh-Hant/mko/mko-inverse-function/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 完整Fin總表先雙射再建反表；候選g逐格合型後才核兩側identity；查詢先陪域資格。不把反函數當函數值倒數。R到R仿射恢復限非零斜率，兩個合法有理輸入以最簡正分母回代。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-inverse-function) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-inverse-function) - 階段 3 · optional ## [有限簡單無向圖](/zh-Hant/mko/mko-graph/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 簡單無向Fin圖：完整鄰接矩陣／度數與握手、全頂點鄰居／非鄰居分割、有效邊toggle的度數改變、明示子集合誘導圖且保原標籤。反向或重複邊不增加邊，無自環；本graph輪不作連通或樹判定。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-graph) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-graph) - 階段 4 · optional ## [非空有限樹：連通、無環與唯一道路](/zh-Hant/mko/mko-tree/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261017%2F) 非空樹資格與完整簡單無向圖資料：components／有環與空域互達、原樹與端點資格後唯一道路、度1葉刪除保原標籤、原樹上新增不存在邊的唯一環。空圖不是樹；單點無邊是樹但度0非葉，邊數不單獨判樹。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-tree) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-tree) 路徑來源與狀態path-pulse-foundations-20261017 · candidate [原始路徑 JSON](/data/architecture/learning-paths.json)