# 擴展數學地圖第二批：拓撲語言、計算正確性、漸近界與證明項 在既有數系與函數基礎上依相依順序完成七個可追溯知識物件。 這是教學建議順序，不是一般性的邏輯依賴或已形式化證明。 - 階段 1 · required ## [拓撲空間](/zh-Hant/mko/mko-topological-space/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-topological-space) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-topological-space) - 階段 1 · required ## [子集合](/zh-Hant/mko/mko-subset/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-subset) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-subset) - 階段 1 · required ## [集合運算](/zh-Hant/mko/mko-set-operations/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-set-operations) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-set-operations) - 階段 1 · required ## [集合隸屬](/zh-Hant/mko/mko-set-membership/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-set-membership) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-set-membership) - 階段 1 · required ## [函數映射](/zh-Hant/mko/mko-function-mapping/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-function-mapping) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-function-mapping) - 階段 1 · required ## [集合](/zh-Hant/mko/mko-set/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-set) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-set) - 階段 1 · required ## [二元關係與集合投影](/zh-Hant/mko/mko-relation/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-relation) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-relation) - 階段 1 · required ## [自然數](/zh-Hant/mko/mko-natural-number/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-natural-number) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-natural-number) - 階段 1 · required ## [命題](/zh-Hant/mko/mko-proposition/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-proposition) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-proposition) - 階段 1 · required ## [數學證明](/zh-Hant/mko/mko-proof/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-proof) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-proof) - 階段 1 · required ## [四則運算](/zh-Hant/mko/mko-arithmetic-operations/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-arithmetic-operations) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-arithmetic-operations) - 階段 1 · required ## [實數大小與順序](/zh-Hant/mko/mko-order-relation/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-order-relation) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-order-relation) - 階段 1 · required ## [證明助理中的形式陳述](/zh-Hant/mko/mko-lean-formal-statement/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-lean-formal-statement) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-lean-formal-statement) - 階段 2 · optional ## [開集與閉集](/zh-Hant/mko/mko-open-closed-set/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 在固定拓撲空間中，開集屬於拓撲；閉集的補集為開集，同一集合可以同時開且閉。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-open-closed-set) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-open-closed-set) - 階段 3 · optional ## [鄰域](/zh-Hant/mko/mko-neighborhood/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 集合 N 是點 x 的鄰域，當且僅當 N 包含某個含 x 的開集；N 本身不必開。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-neighborhood) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-neighborhood) - 階段 4 · optional ## [拓撲連續映射](/zh-Hant/mko/mko-topological-continuity/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 拓撲映射連續，表示目標空間每個開集的逆像在來源空間仍是開集。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-topological-continuity) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-topological-continuity) - 階段 5 · optional ## [抽象計算模型](/zh-Hant/mko/mko-computational-model/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 有限狀態計算模型以狀態集、初始狀態集、步驟關係與停止狀態集描述可能執行。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-computational-model) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-computational-model) - 階段 6 · optional ## [算法正確性](/zh-Hant/mko/mko-algorithm-correctness/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 算法正確性分開部分正確性與終止性；總正確性需要兩者同時成立。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-algorithm-correctness) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-algorithm-correctness) - 階段 7 · optional ## [漸近資源界](/zh-Hant/mko/mko-asymptotic-resource-bound/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 漸近上界、下界與緊界必須相對輸入大小、成本模型及全尾段量化定義。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-asymptotic-resource-bound) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-asymptotic-resource-bound) - 階段 8 · optional ## [證明項](/zh-Hant/mko/mko-lean-proof-term/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261019%2F) 證明項是在固定形式環境與 context 中具有命題 P 型別，並可由 kernel 檢查的項 t。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-lean-proof-term) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-lean-proof-term) 路徑來源與狀態path-pulse-foundations-20261019 · candidate [原始路徑 JSON](/data/architecture/learning-paths.json)