# Wave6根層：有限群作用、上下確界、拓撲基底、Markov不等式、鴿籠原理、Euler定理與子數列 在既有數系與函數基礎上依相依順序完成七個可追溯知識物件。 這是教學建議順序，不是一般性的邏輯依賴或已形式化證明。 - 階段 1 · required ## [有限群](/zh-Hant/mko/mko-finite-group/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-finite-group) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-finite-group) - 階段 1 · required ## [函數映射](/zh-Hant/mko/mko-function-mapping/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-function-mapping) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-function-mapping) - 階段 1 · required ## [集合](/zh-Hant/mko/mko-set/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-set) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-set) - 階段 1 · required ## [實數](/zh-Hant/mko/mko-real-number/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-real-number) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-real-number) - 階段 1 · required ## [實數大小與順序](/zh-Hant/mko/mko-order-relation/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-order-relation) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-order-relation) - 階段 1 · required ## [量詞與明示論域](/zh-Hant/mko/mko-quantifier/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-quantifier) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-quantifier) - 階段 1 · required ## [拓撲空間](/zh-Hant/mko/mko-topological-space/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-topological-space) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-topological-space) - 階段 1 · required ## [開集與閉集](/zh-Hant/mko/mko-open-closed-set/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-open-closed-set) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-open-closed-set) - 階段 1 · required ## [集合運算](/zh-Hant/mko/mko-set-operations/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-set-operations) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-set-operations) - 階段 1 · required ## [有限樣本空間的實值隨機變數](/zh-Hant/mko/mko-random-variable/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-random-variable) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-random-variable) - 階段 1 · required ## [有限模型的期望值](/zh-Hant/mko/mko-expectation/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-expectation) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-expectation) - 階段 1 · required ## [有限樣本空間上的機率](/zh-Hant/mko/mko-probability/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-probability) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-probability) - 階段 1 · required ## [基本計數原理](/zh-Hant/mko/mko-counting-principle/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-counting-principle) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-counting-principle) - 階段 1 · required ## [集合基數比較](/zh-Hant/mko/mko-cardinality-comparison/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-cardinality-comparison) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-cardinality-comparison) - 階段 1 · required ## [Euler φ函數](/zh-Hant/mko/mko-euler-totient-function/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-euler-totient-function) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-euler-totient-function) - 階段 1 · required ## [最大公因數與互質](/zh-Hant/mko/mko-gcd-coprime/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-gcd-coprime) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-gcd-coprime) - 階段 1 · required ## [自然數模同餘](/zh-Hant/mko/mko-modular-congruence/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-modular-congruence) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-modular-congruence) - 階段 1 · required ## [自然數冪與主平方根](/zh-Hant/mko/mko-power-root/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-power-root) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-power-root) - 階段 1 · required ## [數列](/zh-Hant/mko/mko-sequence/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-sequence) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-sequence) - 階段 1 · required ## [單射與不同輸入的辨識](/zh-Hant/mko/mko-injective/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-injective) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-injective) - 階段 2 · optional ## [有限群作用](/zh-Hant/mko/mko-finite-group-action/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 有限群在有限集合上的作用是滿足單位與乘法相容律的total action table。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-finite-group-action) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-finite-group-action) - 階段 3 · optional ## [上確界與下確界](/zh-Hant/mko/mko-supremum-and-infimum/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 非空且有界實數集合的supremum是最小上界，infimum是最大下界，兩者未必屬於集合。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-supremum-and-infimum) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-supremum-and-infimum) - 階段 4 · optional ## [拓撲基底](/zh-Hant/mko/mko-topological-basis/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 拓撲基底以覆蓋carrier與逐點局部交細化兩條公理生成拓撲。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-topological-basis) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-topological-basis) - 階段 5 · optional ## [Markov不等式](/zh-Hant/mko/mko-markov-inequality/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 非負且有限期望的隨機變數在正閾值上的尾機率不超過E[X]/a。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-markov-inequality) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-markov-inequality) - 階段 6 · optional ## [鴿籠原理](/zh-Hant/mko/mko-pigeonhole-principle/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 有限total map的domain比codomain大時必有兩個不同元素共享像。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-pigeonhole-principle) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-pigeonhole-principle) - 階段 7 · optional ## [Euler定理](/zh-Hant/mko/mko-euler-theorem-number-theory/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) n>=2且gcd(a,n)=1時，a的phi(n)次方模n同餘於1。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-euler-theorem-number-theory) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-euler-theorem-number-theory) - 階段 8 · optional ## [子數列](/zh-Hant/mko/mko-subsequence/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261107%2F) 子數列由嚴格遞增的自然數索引映射選取原數列項並保留次序。 [相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-subsequence) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-subsequence) 路徑來源與狀態path-pulse-foundations-20261107 · candidate [原始路徑 JSON](/data/architecture/learning-paths.json)