# Wave6第七層：正規子群、實指數、解析OGF、Euler判準、Turing判定、梯度與流網路

在既有數系與函數基礎上依相依順序完成七個可追溯知識物件。

這是教學建議順序，不是一般性的邏輯依賴或已形式化證明。


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## [有限群](/zh-Hant/mko/mko-finite-group/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-finite-group) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-finite-group)


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## [子群與群同態](/zh-Hant/mko/mko-subgroup-homomorphism/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-subgroup-homomorphism) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-subgroup-homomorphism)


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## [量詞與明示論域](/zh-Hant/mko/mko-quantifier/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-quantifier) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-quantifier)


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## [無窮級數](/zh-Hant/mko/mko-infinite-series/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-infinite-series) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-infinite-series)


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## [實數](/zh-Hant/mko/mko-real-number/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-real-number) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-real-number)


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## [函數映射](/zh-Hant/mko/mko-function-mapping/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-function-mapping) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-function-mapping)


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## [數列極限與精確尾界](/zh-Hant/mko/mko-sequence-limit/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-sequence-limit) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-sequence-limit)


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## [冪級數收斂半徑](/zh-Hant/mko/mko-power-series-radius-of-convergence/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-power-series-radius-of-convergence) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-power-series-radius-of-convergence)


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## [階乘](/zh-Hant/mko/mko-factorial/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-factorial) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-factorial)


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## [級數絕對收斂](/zh-Hant/mko/mko-absolute-convergence-of-series/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-absolute-convergence-of-series) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-absolute-convergence-of-series)


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## [二項式定理](/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-binomial-theorem) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-binomial-theorem)


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## [遞迴關係](/zh-Hant/mko/mko-recurrence-relation/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-recurrence-relation) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-recurrence-relation)


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## [數列](/zh-Hant/mko/mko-sequence/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-sequence) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-sequence)


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## [Euler定理](/zh-Hant/mko/mko-euler-theorem-number-theory/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-euler-theorem-number-theory) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-euler-theorem-number-theory)


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## [二次剩餘](/zh-Hant/mko/mko-quadratic-residue/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-quadratic-residue) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-quadratic-residue)


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## [Legendre符號](/zh-Hant/mko/mko-legendre-symbol/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-legendre-symbol) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-legendre-symbol)


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## [抽象計算模型](/zh-Hant/mko/mko-computational-model/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-computational-model) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-computational-model)


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## [決定問題](/zh-Hant/mko/mko-decision-problem/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-decision-problem) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-decision-problem)


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## [確定有限自動機](/zh-Hant/mko/mko-finite-automaton/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-finite-automaton) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-finite-automaton)


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## [算法正確性](/zh-Hant/mko/mko-algorithm-correctness/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-algorithm-correctness) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-algorithm-correctness)


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## [偏導數](/zh-Hant/mko/mko-partial-derivative/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-partial-derivative) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-partial-derivative)


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## [固定基底下的平面向量](/zh-Hant/mko/mko-vector/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-vector) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-vector)


- 階段 1 · required



## [多變數實函數](/zh-Hant/mko/mko-multivariable-real-function/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-multivariable-real-function) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-multivariable-real-function)


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## [有限有向圖](/zh-Hant/mko/mko-finite-directed-graph/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-finite-directed-graph) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-finite-directed-graph)


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## [線性規劃](/zh-Hant/mko/mko-linear-programming/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

本脈衝新物件的既有 Canonical 前置。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-linear-programming) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-linear-programming)


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## [有限正規子群](/zh-Hant/mko/mko-finite-normal-subgroup/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

有限群G的子群H若對每個g皆滿足gHg^{-1}=H，則H為正規子群；等價地每個左陪集等於相應右陪集。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-finite-normal-subgroup) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-finite-normal-subgroup)


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## [實指數函數](/zh-Hant/mko/mko-real-exponential-function/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

實指數函數以對每個實數絕對收斂的冪級數E(x)=sum_{n≥0}x^n/n!定義，並滿足E(x+y)=E(x)E(y)與E(x)>0。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-real-exponential-function) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-real-exponential-function)


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## [解析普通生成函數](/zh-Hant/mko/mko-analytic-ordinary-generating-function/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

數列(a_n)在明示收斂域內以ordinary power series A(x)=sum_{n≥0}a_nx^n解析編碼。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-analytic-ordinary-generating-function) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-analytic-ordinary-generating-function)


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## [Euler二次剩餘判準](/zh-Hant/mko/mko-euler-criterion-quadratic-residue/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

若p為奇質數且p不整除a，則a^((p-1)/2)模p等於Legendre符號(a/p)的模p代表。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-euler-criterion-quadratic-residue) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-euler-criterion-quadratic-residue)


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## [Turing機判定模型](/zh-Hant/mko/mko-turing-machine-decision-model/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

固定deterministic single-tape Turing機語義；decider必須對每個合法輸入停機並給正確accept/reject答案。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-turing-machine-decision-model) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-turing-machine-decision-model)


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## [梯度向量](/zh-Hant/mko/mko-gradient-vector/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

在固定standard Euclidean coordinates中，可微實值函數的一階偏導依座標排列成梯度向量。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-gradient-vector) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-gradient-vector)


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## [有限流網路](/zh-Hant/mko/mko-finite-flow-network/?from=%2Fzh-Hant%2Fpaths%2Fpath-pulse-foundations-20261113%2F)

有限有向網路中的非負流須逐邊不超過capacity，並在source與sink以外每個頂點滿足流量守恆。

[相關題目](/zh-Hant/explore/?mko=mko-finite-flow-network) [概念導讀](/zh-Hant/derivations/?q=mko-finite-flow-network)



路徑來源與狀態path-pulse-foundations-20261113 · candidate

[原始路徑 JSON](/data/architecture/learning-paths.json)