# 第 7 題：座標平面距離計算 [返回所在分頁 1](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20260912-geometry-foundations/#q-20260912-distance-coordinate-0007) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P250-0007 · q-20260912-distance-coordinate-0007 ## 原題與已知條件 在歐幾里得平面上，點 P=(19, -13) 與 Q=(31, -48)。求距離 d(P,Q)。 - G001 — 在歐幾里得平面上，點 P=(19, -13) 與 Q=(31, -48)。求距離 d(P,Q)。 ## 定義與適用範圍 距離取非負主平方根，沿用引用來源既有假設 a3；相同點的距離為零。本批兩點均不同，結果皆為正。 - [mko-euclidean-length](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-length/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 P=(19,-13), Q=(31,-48) 操作後 Δx=Q_x−P_x; Δy=Q_y−P_y 條件：無 先固定相同方向 Q−P，分別求兩個座標差。 步驟識別與依賴規則：coordinate_difference · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Δx := sub(31, 19) 操作後 Δx = 12 條件：無 橫座標差是 31 減去 19，負座標仍須保留括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Δy := sub(-48, -13) 操作後 Δy = -35 條件：無 縱座標差是 -48 減去 -13。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 (Δx)² := square(12) 操作後 (Δx)² = 144 條件：無 先把完整的橫差平方，不能只平方減數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 (Δy)² := square(-35) 操作後 (Δy)² = 1225 條件：無 縱差即使為負，平方後仍非負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 d² := sum(144, 1225) 操作後 d² = 1369 條件：無 依歐幾里得距離公式加總兩個平方。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 d²=1369, d≥0 操作後 d=√(1369)=37 條件：d≥0 因為 37²=1369 且距離不為負，取非負平方根 37。 步驟識別與依賴規則：nonnegative_square_root · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 answer² := square(37) 操作後 answer² = 1369 條件：無 把所得距離平方，回核原來的平方和。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 ## 逐步反向核對 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 answer²，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 負平方根不是距離；不將平方距離直接當作距離。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 d²，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (Δy)²，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (Δx)²，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Δy，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Δx，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 交換兩點會同時改變差的符號，但不改變平方和。 ## 結論 37 兩點距離為 37。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-24 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8a3e88ae82f7b21b24cafc5a49d170c074b6ae44716736f49f755fac1fb1d118 - candidate record SHA-256: 036a79801460dbd23b908a1162066f48133b05d72c4c0547aabb8aa2022fe412 - semantic review receipt SHA-256: ada91cd601dc368efd790cdd3aa80d0c7432d82b465fcdd1eef5148d3959755c - question-first witness SHA-256: c36a153d3b48c84ba1bb7f6534cc6b835c243b74dd8080300b8026ab133fc6f6 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260912-distance-coordinate-0007.json)