# 第 9 題：座標平面距離計算 [返回所在分頁 1](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20260912-geometry-foundations/#q-20260912-distance-coordinate-0009) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P250-0009 · q-20260912-distance-coordinate-0009 ## 原題與已知條件 在歐幾里得平面上，點 P=(-14, 9) 與 Q=(14, 54)。求距離 d(P,Q)。 - G001 — 在歐幾里得平面上，點 P=(-14, 9) 與 Q=(14, 54)。求距離 d(P,Q)。 ## 定義與適用範圍 距離取非負主平方根，沿用引用來源既有假設 a3；相同點的距離為零。本批兩點均不同，結果皆為正。 - [mko-euclidean-length](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-length/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 P=(-14,9), Q=(14,54) 操作後 Δx=Q_x−P_x; Δy=Q_y−P_y 條件：無 先固定相同方向 Q−P，分別求兩個座標差。 步驟識別與依賴規則：coordinate_difference · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Δx := sub(14, -14) 操作後 Δx = 28 條件：無 橫座標差是 14 減去 -14，負座標仍須保留括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Δy := sub(54, 9) 操作後 Δy = 45 條件：無 縱座標差是 54 減去 9。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 (Δx)² := square(28) 操作後 (Δx)² = 784 條件：無 先把完整的橫差平方，不能只平方減數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 (Δy)² := square(45) 操作後 (Δy)² = 2025 條件：無 縱差即使為負，平方後仍非負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 d² := sum(784, 2025) 操作後 d² = 2809 條件：無 依歐幾里得距離公式加總兩個平方。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 d²=2809, d≥0 操作後 d=√(2809)=53 條件：d≥0 因為 53²=2809 且距離不為負，取非負平方根 53。 步驟識別與依賴規則：nonnegative_square_root · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 answer² := square(53) 操作後 answer² = 2809 條件：無 把所得距離平方，回核原來的平方和。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 ## 逐步反向核對 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 answer²，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 負平方根不是距離；不將平方距離直接當作距離。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 d²，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (Δy)²，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (Δx)²，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Δy，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Δx，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 交換兩點會同時改變差的符號，但不改變平方和。 ## 結論 53 兩點距離為 53。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-24 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8ea4566fbc7d7d274848c598447394a1d4fe7ccb6ab22b82d5c186e474648a26 - candidate record SHA-256: da9f128116951017b24f10f743bd2738d0c85d4cc8889dc2fb18b642cabb1337 - semantic review receipt SHA-256: ada91cd601dc368efd790cdd3aa80d0c7432d82b465fcdd1eef5148d3959755c - question-first witness SHA-256: c36a153d3b48c84ba1bb7f6534cc6b835c243b74dd8080300b8026ab133fc6f6 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260912-distance-coordinate-0009.json)