# 第 35542 題：座標平面距離計算 [返回所在分頁 178](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/178/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20260912-geometry-foundations/#q-20260912-distance-coordinate-0027) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0070-35542 · q-20260912-distance-coordinate-0027 ## 原題與已知條件 在歐幾里得平面上，點 P=(18, -5) 與 Q=(42, -75)。求距離 d(P,Q)。 - G001 — 在歐幾里得平面上，點 P=(18, -5) 與 Q=(42, -75)。求距離 d(P,Q)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-euclidean-length](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-length/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-distance-coordinate, [expected_distance, p, q]] 操作後 derived = [distance, null, null] 條件：無 只使用此bank真正明示的欄位、operation/domain與型別；BASE容許保留額外metadata，不把LDL SAFE/集合上限或其他bank的去重規則搬來。 步驟識別與依賴規則：R70_SOURCE_bank_specific_interface · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [[18, -5], [42, -75]] 操作後 derived = [orthonormal common coordinate frame] 條件：無 這五題的給定座標皆為整數且在同一歐氏座標架構；距離不是座標差的和或Manhattan距離，expected_distance只是不用的metadata。 步驟識別與依賴規則：Distance_GIVEN_same_Euclidean_frame_integral_last5 · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Distance ORIGINAL coordinate difference i=0 := sub(42, 18) 操作後 Distance ORIGINAL coordinate difference i=0 = 24 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Distance square signed difference i=0 := mul(24, 24) 操作後 Distance square signed difference i=0 = 576 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Distance ORIGINAL coordinate difference i=1 := sub(-75, -5) 操作後 Distance ORIGINAL coordinate difference i=1 = -70 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Distance square signed difference i=1 := mul(-70, -70) 操作後 Distance square signed difference i=1 = 4900 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Distance sum BOTH coordinate squares := sum(576, 4900) 操作後 Distance sum BOTH coordinate squares = 5476 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Distance principal nonnegative root squared back := mul(74, 74) 操作後 Distance principal nonnegative root squared back = 5476 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [[24, -70], 5476] 操作後 derived = [74] 條件：無 d²為兩分量平方和，距離定義非負，故取已精確平方回驗的主平方根；不能選負根或用預期答案反推。 步驟識別與依賴規則：Distance_PRINCIPAL_root_not_negative_or_approximate · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance principal nonnegative root squared back，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance sum BOTH coordinate squares，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance square signed difference i=1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance ORIGINAL coordinate difference i=1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance square signed difference i=0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance ORIGINAL coordinate difference i=0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 ## 結論 74 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 008a7f9d8b11b17a22a08ec58b01810bebe49a94a13bdfff92d8d5021c99dca5 - candidate record SHA-256: 9480c695ff6881277bef4ab69bcb72200a94d181bd6d35b502cbb7244a2951dd - semantic review receipt SHA-256: 9820ac6529139bd53d516c8bfdfdd41184b0cd52dad69fa433344010db37af80 - question-first witness SHA-256: c9c939762bbd4d3ea3403084c8e95541dc2c7e56eb82fc74eaba8c80a4517dab - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260912-distance-coordinate-0027.json)