# 第 31997 題：明示全集的相對補集 [返回所在分頁 160](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/160/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20260915-finite-set-operations/#q-20260915-finite-relative-complement-0022) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0062-31997 · q-20260915-finite-relative-complement-0022 ## 原題與已知條件 令明示全集 U={1111, 1112, 1113, 1114, 1115}，且 A={1112, 1114, 1115}⊆U。求相對補集 U\A（元素只列一次並依遞增排序）。 - G001 — 令明示全集 U={1111, 1112, 1113, 1114, 1115}，且 A={1112, 1114, 1115}⊆U。求相對補集 U\A（元素只列一次並依遞增排序）。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-set-operations](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-set-operations/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-finite-relative-complement, no-domain-field, no-operation-field, no-form-field] 操作後 derived = [[numeric_sorted_set_STRING_or_empty_symbol]] 條件：無 按原bank核欄位：BASE方程用form及論域，BASE事件／補集無operation，階乘無domain；ext18用local-hyphen，其他legacy用underscore。輸出型別不統一成tuple或fraction。 步驟識別與依賴規則：R62_EXACT_source_keys_domain_operation_form_AND_output_types · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [U ORIGINAL explicit universe, [1111, 1112, 1113, 1114, 1115]] 操作後 derived = [[1111, 1112, 1113, 1114, 1115]] 條件：無 原BASE有限集合是distinct整數list，重複輸入不偷偷去重修成合法。數值排序只用於衍生顯示，原資料不變；不搬來expectation的100元素或SAFE界。 步驟識別與依賴規則：BASE_FINITE_set_distinct_INTEGER_list_no_silent_duplicate_fix · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [A ORIGINAL subset, [1112, 1114, 1115]] 操作後 derived = [[1112, 1114, 1115]] 條件：無 原BASE有限集合是distinct整數list，重複輸入不偷偷去重修成合法。數值排序只用於衍生顯示，原資料不變；不搬來expectation的100元素或SAFE界。 步驟識別與依賴規則：BASE_FINITE_set_distinct_INTEGER_list_no_silent_duplicate_fix · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [0, 1111, [1112, 1114, 1115]] 操作後 derived = [是] 條件：無 在明示原全集U逐label核對不屬A才保留。這是U\A，不是A\U，也不是未指定全集的絕對補集。 步驟識別與依賴規則：Complement_EACH_ORIGINAL_universe_label_NOT_in_A · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [1, 1112, [1112, 1114, 1115]] 操作後 derived = [否] 條件：無 在明示原全集U逐label核對不屬A才保留。這是U\A，不是A\U，也不是未指定全集的絕對補集。 步驟識別與依賴規則：Complement_EACH_ORIGINAL_universe_label_NOT_in_A · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [2, 1113, [1112, 1114, 1115]] 操作後 derived = [是] 條件：無 在明示原全集U逐label核對不屬A才保留。這是U\A，不是A\U，也不是未指定全集的絕對補集。 步驟識別與依賴規則：Complement_EACH_ORIGINAL_universe_label_NOT_in_A · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [3, 1114, [1112, 1114, 1115]] 操作後 derived = [否] 條件：無 在明示原全集U逐label核對不屬A才保留。這是U\A，不是A\U，也不是未指定全集的絕對補集。 步驟識別與依賴規則：Complement_EACH_ORIGINAL_universe_label_NOT_in_A · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [4, 1115, [1112, 1114, 1115]] 操作後 derived = [否] 條件：無 在明示原全集U逐label核對不屬A才保留。這是U\A，不是A\U，也不是未指定全集的絕對補集。 步驟識別與依賴規則：Complement_EACH_ORIGINAL_universe_label_NOT_in_A · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [[1111, 1112, 1113, 1114, 1115], [1112, 1114, 1115]] 操作後 derived = [[1111, 1113], {1111, 1113}, 是] 條件：無 A⊆U先成立，再驗A與補集不交且聯集回U，沒有漏／加label。答案數值遞增且每元素一次；空用∅，原U/A順序及資料不改。 步驟識別與依賴規則：Complement_COMPLETE_disjoint_partition_of_fixed_U_numeric_set_display · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S008 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S007 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S006 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S005 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S004 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S003 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S002 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 ## 結論 {1111, 1113} 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f8b07f5385a08c628940859e4a796b5193056bc08b7080d2304477d7432c0ec5 - candidate record SHA-256: dbab9f5f110396f2c6b394ad1815f96ceb43e616ca35c24924efdadf684f6e55 - semantic review receipt SHA-256: 963099ffc9f754069fdce6792949a85ed350472465eaceb3038fa8011cf672bd - question-first witness SHA-256: d7655324c5d11528e1af90b757384cebd3313e19dc5f6f5b9b8ea7624fb06f6f - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260915-finite-relative-complement-0022.json)