# 第 34915 題：有理點的精確距離 [返回所在分頁 175](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/175/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20260923-real-number-rational-points/#q-20260923-real-rational-point-distance-0015) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0068-34915 · q-20260923-real-rational-point-distance-0015 ## 原題與已知條件 兩個有理實數點為 4/5 與 -2/1。求精確距離 |4/5−-2/1| 的最簡分數。 - G001 — 兩個有理實數點為 4/5 與 -2/1。求精確距離 |4/5−-2/1| 的最簡分數。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-real-number](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-number/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-real-rational-point-distance, [left, operation, right]] 操作後 derived = [exact_rational_distance, no-invented-domain] 條件：無 按來源分bank：legacy raw SAFE/衍生BigInt無界，BASE Number.isInteger不偷加SAFE/百萬界。underscore operation、domain及寬/嚴keys各依本bank；原JSON完整保存。 步驟識別與依賴規則：R68_BANK_specific_keys_operations_and_numeric_guards · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Real ORIGINAL left point ORIGINAL exact numerator over nonzero denominator := div(4, 5) 操作後 Real ORIGINAL left point ORIGINAL exact numerator over nonzero denominator = 4/5 條件：無 按原操作數/次序精確運算；乘/減/除明示兩操作數，legacy BigInt衍生量不重套raw SAFE界，BASE Number來源的型別/表示條件另驗，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [Real ORIGINAL left point, [4, 5]] 操作後 derived = [[4, 5], 4/5] 條件：無 BASE normalizeFraction要整數num/den且den非0，不偷加SAFE/百萬/一億界。先正den再gcd約分，零為0/1；此衍生表示不改原raw pair。 步驟識別與依賴規則：Real_BASE_fraction_sign_gcd_normalization_NO_invented_SAFEcap · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Real ORIGINAL right point ORIGINAL exact numerator over nonzero denominator := div(-2, 1) 操作後 Real ORIGINAL right point ORIGINAL exact numerator over nonzero denominator = -2 條件：無 按原操作數/次序精確運算；乘/減/除明示兩操作數，legacy BigInt衍生量不重套raw SAFE界，BASE Number來源的型別/表示條件另驗，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [Real ORIGINAL right point, [-2, 1]] 操作後 derived = [[-2, 1], -2/1] 條件：無 BASE normalizeFraction要整數num/den且den非0，不偷加SAFE/百萬/一億界。先正den再gcd約分，零為0/1；此衍生表示不改原raw pair。 步驟識別與依賴規則：Real_BASE_fraction_sign_gcd_normalization_NO_invented_SAFEcap · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Real ORIGINAL normalized left numerator times right positive denominator := mul(4, 1) 操作後 Real ORIGINAL normalized left numerator times right positive denominator = 4 條件：無 按原操作數/次序精確運算；乘/減/除明示兩操作數，legacy BigInt衍生量不重套raw SAFE界，BASE Number來源的型別/表示條件另驗，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Real ORIGINAL normalized right numerator times left positive denominator := mul(-2, 5) 操作後 Real ORIGINAL normalized right numerator times left positive denominator = -10 條件：無 按原操作數/次序精確運算；乘/減/除明示兩操作數，legacy BigInt衍生量不重套raw SAFE界，BASE Number來源的型別/表示條件另驗，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Real distance ORIGINAL signed crossproduct difference := sub(4, -10) 操作後 Real distance ORIGINAL signed crossproduct difference = 14 條件：無 按原操作數/次序精確運算；乘/減/除明示兩操作數，legacy BigInt衍生量不重套raw SAFE界，BASE Number來源的型別/表示條件另驗，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Real distance ORIGINAL positive denominator product := mul(5, 1) 操作後 Real distance ORIGINAL positive denominator product = 5 條件：無 按原操作數/次序精確運算；乘/減/除明示兩操作數，legacy BigInt衍生量不重套raw SAFE界，BASE Number來源的型別/表示條件另驗，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [4/5, -2/1, 14, 5] 操作後 derived = [14, 5] 條件：無 實線距離是|left−right|，先保帶號差再取abs；兩點相等距離0，不用平方距離或改變點順序來猜符號。 步驟識別與依賴規則：Real_DISTANCE_absolute_difference_NOT_signed_or_squared · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Real exact distance derived fraction ORIGINAL exact numerator over nonzero denominator := div(14, 5) 操作後 Real exact distance derived fraction ORIGINAL exact numerator over nonzero denominator = 14/5 條件：無 按原操作數/次序精確運算；乘/減/除明示兩操作數，legacy BigInt衍生量不重套raw SAFE界，BASE Number來源的型別/表示條件另驗，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [Real exact distance derived fraction, [14, 5]] 操作後 derived = [[14, 5], 14/5] 條件：無 BASE normalizeFraction要整數num/den且den非0，不偷加SAFE/百萬/一億界。先正den再gcd約分，零為0/1；此衍生表示不改原raw pair。 步驟識別與依賴規則：Real_BASE_fraction_sign_gcd_normalization_NO_invented_SAFEcap · 依賴：G001, S011 ## 逐步反向核對 - S012 · premise_and_result_audit — 反向核對本題的原始已知量、論域與本步條件；保留原題/英文/MKO/AST/狀態，不把單向推論倒成等價，也不把有限核對當獨立審查或一般形式證明。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Real exact distance derived fraction ORIGINAL exact numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 反向核對本題的原始已知量、論域與本步條件；保留原題/英文/MKO/AST/狀態，不把單向推論倒成等價，也不把有限核對當獨立審查或一般形式證明。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Real distance ORIGINAL positive denominator product，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Real distance ORIGINAL signed crossproduct difference，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Real ORIGINAL normalized right numerator times left positive denominator，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Real ORIGINAL normalized left numerator times right positive denominator，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 反向核對本題的原始已知量、論域與本步條件；保留原題/英文/MKO/AST/狀態，不把單向推論倒成等價，也不把有限核對當獨立審查或一般形式證明。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Real ORIGINAL right point ORIGINAL exact numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 反向核對本題的原始已知量、論域與本步條件；保留原題/英文/MKO/AST/狀態，不把單向推論倒成等價，也不把有限核對當獨立審查或一般形式證明。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Real ORIGINAL left point ORIGINAL exact numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本題的原始已知量、論域與本步條件；保留原題/英文/MKO/AST/狀態，不把單向推論倒成等價，也不把有限核對當獨立審查或一般形式證明。 ## 結論 14/5 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 511257dd5eb422d6a48452ef4fb62a6b7eb397af1ecf8c755e94b2dd1da73cf7 - candidate record SHA-256: 93c1ddf11f1e77c78733c1642cf57a26c1a62f73013477d776c90fd9f173e536 - semantic review receipt SHA-256: e7a54104fa02c235f7591329bd6db8d626dd74bf0fae29c557b1f269c85066ed - question-first witness SHA-256: 8401a3c2064c1275a6a7ea8f00412fa12286cec7b2db6c305ff9dba3724ae229 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260923-real-rational-point-distance-0015.json)