# 第 31811 題：連續階乘的商 [返回所在分頁 160](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/160/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20260926-factorial-foundations/#q-20260926-factorial-consecutive-quotient-0011) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0062-31811 · q-20260926-factorial-consecutive-quotient-0011 ## 原題與已知條件 計算 11!/10!；分母已明示為正。 - G001 — 計算 11!/10!；分母已明示為正。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-factorial](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-factorial/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-factorial-consecutive-quotient, no-domain-field, consecutive_quotient, no-form-field] 操作後 derived = [[exact_integer_STRING]] 條件：無 按原bank核欄位：BASE方程用form及論域，BASE事件／補集無operation，階乘無domain；ext18用local-hyphen，其他legacy用underscore。輸出型別不統一成tuple或fraction。 步驟識別與依賴規則：R62_EXACT_source_keys_domain_operation_form_AND_output_types · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2) 操作後 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor2 = 2 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor3 := mul(2, 3) 操作後 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor3 = 6 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor4 := mul(6, 4) 操作後 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor4 = 24 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor5 := mul(24, 5) 操作後 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor5 = 120 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor6 := mul(120, 6) 操作後 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor6 = 720 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor7 := mul(720, 7) 操作後 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor7 = 5040 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor8 := mul(5040, 8) 操作後 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor8 = 40320 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor9 := mul(40320, 9) 操作後 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor9 = 362880 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor10 := mul(362880, 10) 操作後 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor10 = 3628800 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor11 := mul(3628800, 11) 操作後 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor11 = 39916800 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [Factorial requested n, 11] 操作後 derived = [39916800] 條件：無 階乘由完整2..n相乘，n0及1都是空積1。衍生值用任意精度整數，不用Number或科學記號，也不把其他題族n64界搬來。 步驟識別與依賴規則：Factorial_COMPLETE_product_EMPTY0and1_are1_not_input_n64_cap · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [11, 39916800] 操作後 derived = [39916800] 條件：無 先完整重算n!並比對給定decimal字串，不能把未驗證的提示當答案oracle。字串須恰等原值，保所有位數。 步驟識別與依賴規則：Factorial_GIVEN_nfactorial_STRING_verified_not_assumed · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2) 操作後 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor2 = 2 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor3 := mul(2, 3) 操作後 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor3 = 6 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor4 := mul(6, 4) 操作後 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor4 = 24 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor5 := mul(24, 5) 操作後 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor5 = 120 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor6 := mul(120, 6) 操作後 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor6 = 720 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor7 := mul(720, 7) 操作後 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor7 = 5040 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor8 := mul(5040, 8) 操作後 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor8 = 40320 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor9 := mul(40320, 9) 操作後 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor9 = 362880 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor10 := mul(362880, 10) 操作後 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor10 = 3628800 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 source roles = [Factorial previous n minus1, 10] 操作後 derived = [3628800] 條件：無 階乘由完整2..n相乘，n0及1都是空積1。衍生值用任意精度整數，不用Number或科學記號，也不把其他題族n64界搬來。 步驟識別與依賴規則：Factorial_COMPLETE_product_EMPTY0and1_are1_not_input_n64_cap · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Factorial ORIGINAL n factorial over positive previous factorial := div(39916800, 3628800) 操作後 Factorial ORIGINAL n factorial over positive previous factorial = 11 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Factorial quotient reverse ORIGINAL previous factorial times n := mul(3628800, 11) 操作後 Factorial quotient reverse ORIGINAL previous factorial times n = 39916800 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 source roles = [11, 39916800, 3628800] 操作後 derived = [11, 39916800] 條件：無 n≥1，兩個給定階乘都先驗對且分母(n−1)!>0，才可由n!=n(n−1)!消去得n；不是由答案外觀猜除數。 步驟識別與依賴規則：Factorial_QUOTIENT_BOTH_given_strings_positive_den_before_cancel · 依賴：G001, S025 ## 逐步反向核對 - S026 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial quotient reverse ORIGINAL previous factorial times n，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial ORIGINAL n factorial over positive previous factorial，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor10，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor9，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor8，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor7，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor6，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor5，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor4，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor3，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial previous n minus1 ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S012 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor11，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor10，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor9，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor8，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor7，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor6，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor5，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor4，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor3，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial requested n ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 ## 結論 11 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 213c96aac24dfae002d25c02dc5789522e183444b69e8b5969b318ec0156999e - candidate record SHA-256: fd988f7baf0aab53611c66a74474b5b3fd8fdefb37a569c4e277e4b09eff392e - semantic review receipt SHA-256: 963099ffc9f754069fdce6792949a85ed350472465eaceb3038fa8011cf672bd - question-first witness SHA-256: d7655324c5d11528e1af90b757384cebd3313e19dc5f6f5b9b8ea7624fb06f6f - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260926-factorial-consecutive-quotient-0011.json)