# 第 31876 題：後繼階乘遞迴 [返回所在分頁 160](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/160/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20260926-factorial-foundations/#q-20260926-factorial-successor-recurrence-0001) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0062-31876 · q-20260926-factorial-successor-recurrence-0001 ## 原題與已知條件 已知 0!=1。用 (n+1)!=(n+1)×n! 求 1!。 - G001 — 已知 0!=1。用 (n+1)!=(n+1)×n! 求 1!。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-factorial](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-factorial/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-factorial-successor-recurrence, no-domain-field, successor_recurrence, no-form-field] 操作後 derived = [[exact_integer_STRING]] 條件：無 按原bank核欄位：BASE方程用form及論域，BASE事件／補集無operation，階乘無domain；ext18用local-hyphen，其他legacy用underscore。輸出型別不統一成tuple或fraction。 步驟識別與依賴規則：R62_EXACT_source_keys_domain_operation_form_AND_output_types · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [Factorial requested n, 0] 操作後 derived = [1] 條件：無 階乘由完整2..n相乘，n0及1都是空積1。衍生值用任意精度整數，不用Number或科學記號，也不把其他題族n64界搬來。 步驟識別與依賴規則：Factorial_COMPLETE_product_EMPTY0and1_are1_not_input_n64_cap · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [0, 1] 操作後 derived = [1] 條件：無 先完整重算n!並比對給定decimal字串，不能把未驗證的提示當答案oracle。字串須恰等原值，保所有位數。 步驟識別與依賴規則：Factorial_GIVEN_nfactorial_STRING_verified_not_assumed · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Factorial ORIGINAL successor index n plus1 := sum(0, 1) 操作後 Factorial ORIGINAL successor index n plus1 = 1 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Factorial ORIGINAL successor factor times verified n factorial := mul(1, 1) 操作後 Factorial ORIGINAL successor factor times verified n factorial = 1 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [0, 1, 1] 操作後 derived = [1] 條件：無 在已驗n!後，用(n+1)!=(n+1)n!精確乘一次。n0時1!=1，不誤乘成0或把n!和(n+1)!互換。 步驟識別與依賴規則：Factorial_SUCCESSOR_recurrence_uses_verified_nfactorial · 依賴：G001, S005 ## 逐步反向核對 - S006 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial ORIGINAL successor factor times verified n factorial，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Factorial ORIGINAL successor index n plus1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S002 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 ## 結論 1 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 112c22c3466904663b64440d32a645649accf60a8c84c1360b4a5378c7abd7e6 - candidate record SHA-256: ddad9bb8b9150806104fa74eee533665f8f2bb27a17415b27de3c1246df0e7be - semantic review receipt SHA-256: 963099ffc9f754069fdce6792949a85ed350472465eaceb3038fa8011cf672bd - question-first witness SHA-256: d7655324c5d11528e1af90b757384cebd3313e19dc5f6f5b9b8ea7624fb06f6f - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260926-factorial-successor-recurrence-0001.json)