# 第 297 題：一次方程的精確解

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P1000-0297 · q-20260927-linear-equation-exact-solve-0022



## 原題與已知條件

在有理數論域精確解 5x+(8)=0；a=5 已明示非零。


- G001 — 在有理數論域精確解 5x+(8)=0；a=5 已明示非零。





## 定義與適用範圍

有理數論域且 a≠0；先移項再除以非零 a，答案為正分母的既約分數。


- [mko-linear-equation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-equation/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

a=5, b=8, x∈Q

操作後

equation: 5x+(8)=0

條件：無

明確讀取一次項、常數項與有理數域，不從式子表面名稱推斷非退化。

步驟識別與依賴規則：read_coefficients · 依賴：G001





S002 · equivalent操作前

5x+(8)=0

操作後

5x=-8

條件：無

兩邊同減常數 b，等價保留原解集。

步驟識別與依賴規則：subtract_constant · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

x := div(-8, 5)

操作後

x = -8/5

條件：無

因 5≠0，才可同除以 a。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

a·x := mul(5, -8/5)

操作後

a·x = -8

條件：無

先代回一次項。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

a·x+b := sum(-8, 8)

操作後

a·x+b = 0

條件：無

加回常數須得到0。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

a(x₁−x₂)=0 and a≠0

操作後

x₁=x₂

條件：無

若另有解，兩解方程相減並約去非零 a，必相等。

步驟識別與依賴規則：unique_solution · 依賴：G001, S005









## 逐步反向核對


- S006 · premise_and_result_audit — 代回原式核對，除法前的非零條件不可省略。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·x+b，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·x，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 代回原式核對，除法前的非零條件不可省略。
- S001 · premise_and_result_audit — 代回原式核對，除法前的非零條件不可省略。





## 結論

-8/5

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 77e7054c06ad710ae2b861ed0032acf1ba9432d746e353f727f914d24274f77c
- candidate record SHA-256: 7046b36e6b0ced76edd4c6170916a4380f6784109fe579fdac6300710ac455af
- semantic review receipt SHA-256: 6c2c6d46aded7582a11ac41a8c0b3bdde2669a53bdb6e796eea2039994a02772
- question-first witness SHA-256: 77e43898df9efdbf8094ad81fe4ab91cf4b4bd82f481eb9b4699b73cb4da612b
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260927-linear-equation-exact-solve-0022.json)