# 第 298 題：一次方程的精確解

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P1000-0298 · q-20260927-linear-equation-exact-solve-0023



## 原題與已知條件

在有理數論域精確解 -5x+(15)=0；a=-5 已明示非零。


- G001 — 在有理數論域精確解 -5x+(15)=0；a=-5 已明示非零。





## 定義與適用範圍

有理數論域且 a≠0；先移項再除以非零 a，答案為正分母的既約分數。


- [mko-linear-equation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-equation/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

a=-5, b=15, x∈Q

操作後

equation: -5x+(15)=0

條件：無

明確讀取一次項、常數項與有理數域，不從式子表面名稱推斷非退化。

步驟識別與依賴規則：read_coefficients · 依賴：G001





S002 · equivalent操作前

-5x+(15)=0

操作後

-5x=-15

條件：無

兩邊同減常數 b，等價保留原解集。

步驟識別與依賴規則：subtract_constant · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

x := div(-15, -5)

操作後

x = 3

條件：無

因 -5≠0，才可同除以 a。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

a·x := mul(-5, 3)

操作後

a·x = -15

條件：無

先代回一次項。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

a·x+b := sum(-15, 15)

操作後

a·x+b = 0

條件：無

加回常數須得到0。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

a(x₁−x₂)=0 and a≠0

操作後

x₁=x₂

條件：無

若另有解，兩解方程相減並約去非零 a，必相等。

步驟識別與依賴規則：unique_solution · 依賴：G001, S005









## 逐步反向核對


- S006 · premise_and_result_audit — 代回原式核對，除法前的非零條件不可省略。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·x+b，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·x，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 代回原式核對，除法前的非零條件不可省略。
- S001 · premise_and_result_audit — 代回原式核對，除法前的非零條件不可省略。





## 結論

3

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 91029f0b4393bc4b190d0144055caded0e200d1023a9f6cc1d024e5e232ee729
- candidate record SHA-256: efaa6d1622c44372217d595f6d25cc47ed202d466e5f00e0b6554037fffc982e
- semantic review receipt SHA-256: 6c2c6d46aded7582a11ac41a8c0b3bdde2669a53bdb6e796eea2039994a02772
- question-first witness SHA-256: 77e43898df9efdbf8094ad81fe4ab91cf4b4bd82f481eb9b4699b73cb4da612b
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260927-linear-equation-exact-solve-0023.json)