# 第 1072 題：數線上的兩點距離

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0001-01072 · q-20260928-absolute-value-distance-0022



## 原題與已知條件

實數線上兩點 a=9、b=8。用 |a-b| 精確計算兩點距離。


- G001 — 實數線上兩點 a=9、b=8。用 |a-b| 精確計算兩點距離。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-absolute-value](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-value/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

x∈R

操作後

|x|=x if x≥0; |x|=−x if x<0

條件：無

兩個符號分支覆蓋全部實數，且0歸非負分支。

步驟識別與依賴規則：absolute_definition · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

a−b := sub(9, 8)

操作後

a−b = 1

條件：無

先計算帶符號的兩點差，不把它直接當距離。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

a−b=1

操作後

distance=|a−b|=1

條件：無

依差的符號套用絕對值分支，所得距離必非負。

步驟識別與依賴規則：number_line_metric · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

b−a := sub(8, 9)

操作後

b−a = -1

條件：無

交換點次序會反轉差的符號。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

|a−b|=1; |b−a|=1

操作後

swapping endpoints preserves distance

條件：無

兩點次序不同但絕對值相同，完成反向核對。

步驟識別與依賴規則：distance_symmetry · 依賴：G001, S004









## 逐步反向核對


- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b−a，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a−b，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 確認使用≥0而不是>0，不能把0遺漏。





## 結論

1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: e875bf4e4b2be68c519abff80da72d7ee0b06ce346075cfa2ad1676c044465bc
- candidate record SHA-256: 79c4a7bf85be96a502f70cb8bd5fa514a5344b85f6305496b981b52dbb0facea
- semantic review receipt SHA-256: c3b44ce8ed60ada6902fb206627537d5f90ba2a867eaba43a36f903280c496cc
- question-first witness SHA-256: 3e91602adc7f81a2671a2a3ffaf6a447028b56abc5853e8271673d76f30cd7ad
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260928-absolute-value-distance-0022.json)