# 第 32155 題：分數正規化與約分

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0063-32155 · q-20260930-r01-fraction-reduction-0005



## 原題與已知條件

把整數構成的合法分數 -16/(10) 約成最簡正分母形式；答案用 p/q，包括整數與零。


- G001 — 把整數構成的合法分數 -16/(10) 約成最簡正分母形式；答案用 p/q，包括整數與零。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-fraction](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-fraction/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [qf-fraction-reduction, reduction, no-required-domain, []]

操作後

derived = [[reduced_fraction_RETAIN1_STRING]]

條件：無

BASE來源沒有本輪legacy的通用operation/domain/額外欄位禁令；保metadata而不當答案。PULSE與legacy則核來源精確欄位、operation及domain。不要把tuple、/1或輸入界強套全部題族。

步驟識別與依賴規則：R63_SOURCE_bank_keys_operation_domain_output_roles_metadata_not_oracle · 依賴：G001





S002 · implies操作前

source roles = [-16, 10, []]

操作後

derived = [是]

條件：無

先驗全部raw分量的SAFE整數型別，包含q0／0/0資格題的分子。資格題可合法No；其他實際運算才要求所有用到的den非0。

步驟識別與依賴規則：Fraction_ALL_RAW_SAFE_integer_components_even_zero_den_validity · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

source roles = [Fraction reduction, -16, 10]

操作後

derived = [-16, 10]

條件：無

分母先非0才可表示分數；若負則分子分母同乘−1。衍生num/den不套raw SAFE；不只改分母而改掉值。

步驟識別與依賴規則：Fraction_DEN_nonzero_sign_normalized_BEFORE_gcd · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

Fraction reduction gcd step0 ORIGINAL quotient times divisor := mul(1, 10)

操作後

Fraction reduction gcd step0 ORIGINAL quotient times divisor = 10

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

Fraction reduction gcd step0 ORIGINAL dividend minus product := sub(16, 10)

操作後

Fraction reduction gcd step0 ORIGINAL dividend minus product = 6

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

source roles = [Fraction reduction, 0, 16, 10, 1]

操作後

derived = [10, 6]

條件：無

以x=qy+r、0≤r<y把gcd(x,y)換成gcd(y,r)，共同因數雙向不變；只有非零y才除，餘數嚴降到0。

步驟識別與依賴規則：Fraction_EUCLID_all_remainders_and_common_divisor_invariant · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

Fraction reduction gcd step1 ORIGINAL quotient times divisor := mul(1, 6)

操作後

Fraction reduction gcd step1 ORIGINAL quotient times divisor = 6

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

Fraction reduction gcd step1 ORIGINAL dividend minus product := sub(10, 6)

操作後

Fraction reduction gcd step1 ORIGINAL dividend minus product = 4

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

source roles = [Fraction reduction, 1, 10, 6, 1]

操作後

derived = [6, 4]

條件：無

以x=qy+r、0≤r<y把gcd(x,y)換成gcd(y,r)，共同因數雙向不變；只有非零y才除，餘數嚴降到0。

步驟識別與依賴規則：Fraction_EUCLID_all_remainders_and_common_divisor_invariant · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

Fraction reduction gcd step2 ORIGINAL quotient times divisor := mul(1, 4)

操作後

Fraction reduction gcd step2 ORIGINAL quotient times divisor = 4

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

Fraction reduction gcd step2 ORIGINAL dividend minus product := sub(6, 4)

操作後

Fraction reduction gcd step2 ORIGINAL dividend minus product = 2

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

source roles = [Fraction reduction, 2, 6, 4, 1]

操作後

derived = [4, 2]

條件：無

以x=qy+r、0≤r<y把gcd(x,y)換成gcd(y,r)，共同因數雙向不變；只有非零y才除，餘數嚴降到0。

步驟識別與依賴規則：Fraction_EUCLID_all_remainders_and_common_divisor_invariant · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

Fraction reduction gcd step3 ORIGINAL quotient times divisor := mul(2, 2)

操作後

Fraction reduction gcd step3 ORIGINAL quotient times divisor = 4

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

Fraction reduction gcd step3 ORIGINAL dividend minus product := sub(4, 4)

操作後

Fraction reduction gcd step3 ORIGINAL dividend minus product = 0

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

source roles = [Fraction reduction, 3, 4, 2, 2]

操作後

derived = [4, 0]

條件：無

以x=qy+r、0≤r<y把gcd(x,y)換成gcd(y,r)，共同因數雙向不變；只有非零y才除，餘數嚴降到0。

步驟識別與依賴規則：Fraction_EUCLID_all_remainders_and_common_divisor_invariant · 依賴：G001, S014





S016 · calculation操作前

Fraction reduction ORIGINAL numerator over positive gcd := div(-16, 2)

操作後

Fraction reduction ORIGINAL numerator over positive gcd = -8

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015





S017 · calculation操作前

Fraction reduction ORIGINAL denominator over positive gcd := div(10, 2)

操作後

Fraction reduction ORIGINAL denominator over positive gcd = 5

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016





S018 · calculation操作前

Fraction reduction reverse reduced numerator times gcd := mul(-8, 2)

操作後

Fraction reduction reverse reduced numerator times gcd = -16

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

Fraction reduction reverse reduced denominator times gcd := mul(5, 2)

操作後

Fraction reduction reverse reduced denominator times gcd = 10

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

source roles = [Fraction reduction, -16, 10, 2]

操作後

derived = [-8, 5, -16, 10, -8/5]

條件：無

同除正gcd保持比值、正分母且最簡；反乘還原兩個分量。0化為0/1，整數仍保/1，不改成小數。

步驟識別與依賴規則：Fraction_REDUCED_positive_den_ZERO0over1_RETAIN_integer1 · 依賴：G001, S019









## 逐步反向核對


- S020 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction reverse reduced denominator times gcd，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction reverse reduced numerator times gcd，不以小數近似替代。
- S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction ORIGINAL denominator over positive gcd，不以小數近似替代。
- S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction ORIGINAL numerator over positive gcd，不以小數近似替代。
- S015 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction gcd step3 ORIGINAL dividend minus product，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction gcd step3 ORIGINAL quotient times divisor，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction gcd step2 ORIGINAL dividend minus product，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction gcd step2 ORIGINAL quotient times divisor，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction gcd step1 ORIGINAL dividend minus product，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction gcd step1 ORIGINAL quotient times divisor，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction gcd step0 ORIGINAL dividend minus product，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction gcd step0 ORIGINAL quotient times divisor，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
- S002 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
- S001 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。





## 結論

-8/5

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 766eae51921ef9500ad5d2f33864a7984c64eb95c4acb7a332fdd2b8723643d6
- candidate record SHA-256: 87aa4eda298773c7d03f57b7adaca3b1312212fa42e3e03785e303532e8dc5c4
- semantic review receipt SHA-256: acf03b776f4855e3869810bcbecf1116e3a2b11dfb1e2a5dfbcf8135ad24a7d0
- question-first witness SHA-256: eadbbac3220988b52754f32450fb536d627217306d1ce28a49134f56c21bfa88
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260930-r01-fraction-reduction-0005.json)