# 第 32162 題：分數正規化與約分

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0063-32162 · q-20260930-r01-fraction-reduction-0012



## 原題與已知條件

把整數構成的合法分數 -5/(-25) 約成最簡正分母形式；答案用 p/q，包括整數與零。


- G001 — 把整數構成的合法分數 -5/(-25) 約成最簡正分母形式；答案用 p/q，包括整數與零。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-fraction](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-fraction/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [qf-fraction-reduction, reduction, no-required-domain, []]

操作後

derived = [[reduced_fraction_RETAIN1_STRING]]

條件：無

BASE來源沒有本輪legacy的通用operation/domain/額外欄位禁令；保metadata而不當答案。PULSE與legacy則核來源精確欄位、operation及domain。不要把tuple、/1或輸入界強套全部題族。

步驟識別與依賴規則：R63_SOURCE_bank_keys_operation_domain_output_roles_metadata_not_oracle · 依賴：G001





S002 · implies操作前

source roles = [-5, -25, []]

操作後

derived = [是]

條件：無

先驗全部raw分量的SAFE整數型別，包含q0／0/0資格題的分子。資格題可合法No；其他實際運算才要求所有用到的den非0。

步驟識別與依賴規則：Fraction_ALL_RAW_SAFE_integer_components_even_zero_den_validity · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

Fraction reduction ORIGINAL negate numerator for denominator sign := sub(0, -5)

操作後

Fraction reduction ORIGINAL negate numerator for denominator sign = 5

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

Fraction reduction ORIGINAL negate denominator := sub(0, -25)

操作後

Fraction reduction ORIGINAL negate denominator = 25

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

source roles = [Fraction reduction, -5, -25]

操作後

derived = [5, 25]

條件：無

分母先非0才可表示分數；若負則分子分母同乘−1。衍生num/den不套raw SAFE；不只改分母而改掉值。

步驟識別與依賴規則：Fraction_DEN_nonzero_sign_normalized_BEFORE_gcd · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

Fraction reduction gcd step0 ORIGINAL quotient times divisor := mul(0, 25)

操作後

Fraction reduction gcd step0 ORIGINAL quotient times divisor = 0

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

Fraction reduction gcd step0 ORIGINAL dividend minus product := sub(5, 0)

操作後

Fraction reduction gcd step0 ORIGINAL dividend minus product = 5

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

source roles = [Fraction reduction, 0, 5, 25, 0]

操作後

derived = [0, 5]

條件：無

以x=qy+r、0≤r<y把gcd(x,y)換成gcd(y,r)，共同因數雙向不變；只有非零y才除，餘數嚴降到0。

步驟識別與依賴規則：Fraction_EUCLID_all_remainders_and_common_divisor_invariant · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

Fraction reduction gcd step1 ORIGINAL quotient times divisor := mul(5, 5)

操作後

Fraction reduction gcd step1 ORIGINAL quotient times divisor = 25

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

Fraction reduction gcd step1 ORIGINAL dividend minus product := sub(25, 25)

操作後

Fraction reduction gcd step1 ORIGINAL dividend minus product = 0

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

source roles = [Fraction reduction, 1, 25, 5, 5]

操作後

derived = [25, 0]

條件：無

以x=qy+r、0≤r<y把gcd(x,y)換成gcd(y,r)，共同因數雙向不變；只有非零y才除，餘數嚴降到0。

步驟識別與依賴規則：Fraction_EUCLID_all_remainders_and_common_divisor_invariant · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

Fraction reduction ORIGINAL numerator over positive gcd := div(5, 5)

操作後

Fraction reduction ORIGINAL numerator over positive gcd = 1

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

Fraction reduction ORIGINAL denominator over positive gcd := div(25, 5)

操作後

Fraction reduction ORIGINAL denominator over positive gcd = 5

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

Fraction reduction reverse reduced numerator times gcd := mul(1, 5)

操作後

Fraction reduction reverse reduced numerator times gcd = 5

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

Fraction reduction reverse reduced denominator times gcd := mul(5, 5)

操作後

Fraction reduction reverse reduced denominator times gcd = 25

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

source roles = [Fraction reduction, 5, 25, 5]

操作後

derived = [1, 5, 5, 25, 1/5]

條件：無

同除正gcd保持比值、正分母且最簡；反乘還原兩個分量。0化為0/1，整數仍保/1，不改成小數。

步驟識別與依賴規則：Fraction_REDUCED_positive_den_ZERO0over1_RETAIN_integer1 · 依賴：G001, S015









## 逐步反向核對


- S016 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction reverse reduced denominator times gcd，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction reverse reduced numerator times gcd，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction ORIGINAL denominator over positive gcd，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction ORIGINAL numerator over positive gcd，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction gcd step1 ORIGINAL dividend minus product，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction gcd step1 ORIGINAL quotient times divisor，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction gcd step0 ORIGINAL dividend minus product，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction gcd step0 ORIGINAL quotient times divisor，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction ORIGINAL negate denominator，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fraction reduction ORIGINAL negate numerator for denominator sign，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
- S001 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。





## 結論

1/5

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 295335cdfd17c0875dadf63b126e94e3f9fabc7a99cf4cb57f4f1b2fc14e8e38
- candidate record SHA-256: b93ed981f59c408370753061cace23f9a3a01a352dd7711fd72763b9bb0b33bf
- semantic review receipt SHA-256: acf03b776f4855e3869810bcbecf1116e3a2b11dfb1e2a5dfbcf8135ad24a7d0
- question-first witness SHA-256: eadbbac3220988b52754f32450fb536d627217306d1ce28a49134f56c21bfa88
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260930-r01-fraction-reduction-0012.json)