# 第 35159 題：附初值的遞迴項 [返回所在分頁 176](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/176/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20260930-r05-sequence-foundations/#q-20260930-r05-sequence-recursive-term-0009) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0069-35159 · q-20260930-r05-sequence-recursive-term-0009 ## 原題與已知條件 實數數列索引從 0，明示初值 a_0=4，遞迴 a_(j+1)=a_j+(-2) 對所有 j≥0。求索引 n=11 的項。 - G001 — 實數數列索引從 0，明示初值 a_0=4，遞迴 a_(j+1)=a_j+(-2) 對所有 j≥0。求索引 n=11 的項。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-sequence](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-sequence-recursive-term, [d, n, operation, u]] 操作後 derived = [recursive_term, no-invented-domain] 條件：無 各bank的keys/operation/domain獨立：LDL/PULSE/function legacy為表內underscore，TREE是完整tree_*與明定domain，BASE signed較寬不偷加op/domain。所有算術保持binary primitive契約。 步驟識別與依賴規則：R69_SOURCE_specific_keys_operation_domain_AND_binary_contract · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [4, -2, 11, recursive_term] 操作後 derived = [a_0=u, a_n=u+n*d, zero based] 條件：無 先驗全部raw u/d/count，即使prefix L=0也不跳過unused資料型別。此題已給公式/遞推與0-based起點，不從有限prefix猜一般規律。 步驟識別與依賴規則：Sequence_ALL_RAW_initial_step_and_count_EVEN_empty_prefix · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Sequence ORIGINAL recurrence update j=0 := sum(4, -2) 操作後 Sequence ORIGINAL recurrence update j=0 = 2 條件：無 精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [0, 4, -2] 操作後 derived = [1, 2] 條件：無 每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。 步驟識別與依賴規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Sequence ORIGINAL recurrence update j=1 := sum(2, -2) 操作後 Sequence ORIGINAL recurrence update j=1 = 0 條件：無 精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [1, 2, -2] 操作後 derived = [2, 0] 條件：無 每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。 步驟識別與依賴規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Sequence ORIGINAL recurrence update j=2 := sum(0, -2) 操作後 Sequence ORIGINAL recurrence update j=2 = -2 條件：無 精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [2, 0, -2] 操作後 derived = [3, -2] 條件：無 每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。 步驟識別與依賴規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Sequence ORIGINAL recurrence update j=3 := sum(-2, -2) 操作後 Sequence ORIGINAL recurrence update j=3 = -4 條件：無 精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [3, -2, -2] 操作後 derived = [4, -4] 條件：無 每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。 步驟識別與依賴規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Sequence ORIGINAL recurrence update j=4 := sum(-4, -2) 操作後 Sequence ORIGINAL recurrence update j=4 = -6 條件：無 精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [4, -4, -2] 操作後 derived = [5, -6] 條件：無 每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。 步驟識別與依賴規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Sequence ORIGINAL recurrence update j=5 := sum(-6, -2) 操作後 Sequence ORIGINAL recurrence update j=5 = -8 條件：無 精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [5, -6, -2] 操作後 derived = [6, -8] 條件：無 每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。 步驟識別與依賴規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Sequence ORIGINAL recurrence update j=6 := sum(-8, -2) 操作後 Sequence ORIGINAL recurrence update j=6 = -10 條件：無 精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source roles = [6, -8, -2] 操作後 derived = [7, -10] 條件：無 每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。 步驟識別與依賴規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Sequence ORIGINAL recurrence update j=7 := sum(-10, -2) 操作後 Sequence ORIGINAL recurrence update j=7 = -12 條件：無 精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [7, -10, -2] 操作後 derived = [8, -12] 條件：無 每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。 步驟識別與依賴規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Sequence ORIGINAL recurrence update j=8 := sum(-12, -2) 操作後 Sequence ORIGINAL recurrence update j=8 = -14 條件：無 精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 source roles = [8, -12, -2] 操作後 derived = [9, -14] 條件：無 每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。 步驟識別與依賴規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Sequence ORIGINAL recurrence update j=9 := sum(-14, -2) 操作後 Sequence ORIGINAL recurrence update j=9 = -16 條件：無 精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 source roles = [9, -14, -2] 操作後 derived = [10, -16] 條件：無 每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。 步驟識別與依賴規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Sequence ORIGINAL recurrence update j=10 := sum(-16, -2) 操作後 Sequence ORIGINAL recurrence update j=10 = -18 條件：無 精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 source roles = [10, -16, -2] 操作後 derived = [11, -18] 條件：無 每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。 步驟識別與依賴規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S023 ## 逐步反向核對 - S024 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=10，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=9，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=8，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=7，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=6，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=5，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=4，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=3，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=2，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 ## 結論 -18 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 578b4b2fab224e3c6aadb7972bc6e285a4ad7e7d9f97c89caa40fe1555a0677c - candidate record SHA-256: c104960773b4e30fd6d09a15b7a42b17c674637ac4910262855834f1c10e5388 - semantic review receipt SHA-256: ccf93c72638d6abf6a412514da5838d55ecb09b71d0e4fdec2b559dc9fdee14b - question-first witness SHA-256: 11af9a338b5a610342b2cfb2ee295683131b3139ac402dd19b1ba1725976d518 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260930-r05-sequence-recursive-term-0009.json)