# 第 3015 題：無序不重複選取 [返回所在分頁 16](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/16/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20260930-r06-permutation-combination-foundations/#q-20260930-r06-combination-exact-count-0015) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0005-03015 · q-20260930-r06-combination-exact-count-0015 ## 原題與已知條件 從 6 個彼此相異物件無放回且不重複選取 6 個，空選取計一種。忽略順序，求無序選取數 C(6,6)。 - G001 — 從 6 個彼此相異物件無放回且不重複選取 6 個，空選取計一種。忽略順序，求無序選取數 C(6,6)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-permutation-combination](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-permutation-combination/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=6;k=6;distinct objects,without replacement 操作後 unordered k-subsets of an n-element set 條件：無 每個物件至多取一次，忽略先後順序；排列數不能直接當作本題答案。 步驟識別與依賴規則：unordered_selection_model · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 choices at position1 := sub(6, 0) 操作後 choices at position1 = 6 條件：無 已選i個互異物件後，剩n−i個可選。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 ordered prefix count1 := mul(1, 6) 操作後 ordered prefix count1 = 6 條件：無 乘法原理累積有序選取數，每個位置仍不重複。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 choices at position2 := sub(6, 1) 操作後 choices at position2 = 5 條件：無 已選i個互異物件後，剩n−i個可選。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 ordered prefix count2 := mul(6, 5) 操作後 ordered prefix count2 = 30 條件：無 乘法原理累積有序選取數，每個位置仍不重複。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 choices at position3 := sub(6, 2) 操作後 choices at position3 = 4 條件：無 已選i個互異物件後，剩n−i個可選。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 ordered prefix count3 := mul(30, 4) 操作後 ordered prefix count3 = 120 條件：無 乘法原理累積有序選取數，每個位置仍不重複。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 choices at position4 := sub(6, 3) 操作後 choices at position4 = 3 條件：無 已選i個互異物件後，剩n−i個可選。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 ordered prefix count4 := mul(120, 3) 操作後 ordered prefix count4 = 360 條件：無 乘法原理累積有序選取數，每個位置仍不重複。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 choices at position5 := sub(6, 4) 操作後 choices at position5 = 2 條件：無 已選i個互異物件後，剩n−i個可選。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 ordered prefix count5 := mul(360, 2) 操作後 ordered prefix count5 = 720 條件：無 乘法原理累積有序選取數，每個位置仍不重複。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 choices at position6 := sub(6, 5) 操作後 choices at position6 = 1 條件：無 已選i個互異物件後，剩n−i個可選。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 ordered prefix count6 := mul(720, 1) 操作後 ordered prefix count6 = 720 條件：無 乘法原理累積有序選取數，每個位置仍不重複。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 factorial through2 := mul(1, 2) 操作後 factorial through2 = 2 條件：無 累乘求k!，即同一k元素集合的全部排列數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 factorial through3 := mul(2, 3) 操作後 factorial through3 = 6 條件：無 累乘求k!，即同一k元素集合的全部排列數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 factorial through4 := mul(6, 4) 操作後 factorial through4 = 24 條件：無 累乘求k!，即同一k元素集合的全部排列數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 factorial through5 := mul(24, 5) 操作後 factorial through5 = 120 條件：無 累乘求k!，即同一k元素集合的全部排列數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 factorial through6 := mul(120, 6) 操作後 factorial through6 = 720 條件：無 累乘求k!，即同一k元素集合的全部排列數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 ordered selections=720;orders per subset=720 操作後 C(6,6)=ordered selections/k! 條件：無 每個k子集合恰對應k!個排列，且不同子集合的排列互不重疊；因此除以相同的正整數k!。 步驟識別與依賴規則：uniform_order_fibers · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 unordered subset count := div(720, 720) 操作後 unordered subset count = 1 條件：無 精確相除得到整數；k=0時兩個空乘積均為1，空選取恰有一種。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 C(6,6)=n!/(k!·(n−k)!) 操作後 C(6,6)=720/(720·1)=1 條件：無 把下降乘積改寫為n!/(n−k)!，再核對組合公式及所有邊界值。 步驟識別與依賴規則：binomial_count_formula · 依賴：G001, S020 ## 逐步反向核對 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 unordered subset count，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 factorial through6，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 factorial through5，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 factorial through4，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 factorial through3，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 factorial through2，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ordered prefix count6，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 choices at position6，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ordered prefix count5，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 choices at position5，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ordered prefix count4，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 choices at position4，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ordered prefix count3，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 choices at position3，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ordered prefix count2，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 choices at position2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ordered prefix count1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 choices at position1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 1 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 4aa40c05f51e40f18373dd46131579144121f02715d07f7dd5d62cfb8408da02 - candidate record SHA-256: cad3902074b5461c490a03f81accd14029fb4007b725ed8839e29238a51cda18 - semantic review receipt SHA-256: 5d74de11610ebc6037a4fc9946d77154d4ed18389f8f0feeb823148b6320c4c2 - question-first witness SHA-256: 1fba4ab0f13c2cfcc4d9fdebe492c442d43dd45700394a443daa28f333355ed9 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260930-r06-combination-exact-count-0015.json)