# 第 34171 題：排列與組合的商 [返回所在分頁 171](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/171/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20260930-r06-permutation-combination-foundations/#q-20260930-r06-permutation-combination-quotient-0021) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0067-34171 · q-20260930-r06-permutation-combination-quotient-0021 ## 原題與已知條件 從 8 個彼此相異物件無放回且不重複選取 8 個，空選取計一種。P(n,k) 表示有序數、C(n,k) 表示無序數；求 P(n,k)/C(n,k) 的精確整數值。 - G001 — 從 8 個彼此相異物件無放回且不重複選取 8 個，空選取計一種。P(n,k) 表示有序數、C(n,k) 表示無序數；求 P(n,k)/C(n,k) 的精確整數值。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-permutation-combination](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-permutation-combination/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-permutation-combination-quotient, [k, n, operation]] 操作後 derived = [quotient, no-invented-domain] 條件：無 按本bank核keys與operation/domain：legacy為各表underscore，MOD50用local hyphen；BASE參數較寬不加未知欄限制。Number.isInteger與SAFE兩種來源界分開，原JSON數字表示仍完整保存。 步驟識別與依賴規則：R67_SOURCE_specific_keys_operation_domain_and_numeric_bank · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [8, 8] 操作後 derived = [[8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1], 1] 條件：無 n個不同物件無重複無放回，ordered selection第i位置有n−i+1個選擇。k=0空選取恰1種，乘法從1開始；本bank到n=200，不搬其他bank的32或64界。 步驟識別與依賴規則：Selection_DISTINCT_no_replacement_order_and_EMPTY_convention · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Permutation ORIGINAL available choices position1 := mul(1, 8) 操作後 Permutation ORIGINAL available choices position1 = 8 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Permutation ORIGINAL available choices position2 := mul(8, 7) 操作後 Permutation ORIGINAL available choices position2 = 56 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Permutation ORIGINAL available choices position3 := mul(56, 6) 操作後 Permutation ORIGINAL available choices position3 = 336 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Permutation ORIGINAL available choices position4 := mul(336, 5) 操作後 Permutation ORIGINAL available choices position4 = 1680 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Permutation ORIGINAL available choices position5 := mul(1680, 4) 操作後 Permutation ORIGINAL available choices position5 = 6720 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Permutation ORIGINAL available choices position6 := mul(6720, 3) 操作後 Permutation ORIGINAL available choices position6 = 20160 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Permutation ORIGINAL available choices position7 := mul(20160, 2) 操作後 Permutation ORIGINAL available choices position7 = 40320 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Permutation ORIGINAL available choices position8 := mul(40320, 1) 操作後 Permutation ORIGINAL available choices position8 = 40320 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Quotient ORIGINAL factorial factor1 := mul(1, 1) 操作後 Quotient ORIGINAL factorial factor1 = 1 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Quotient ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2) 操作後 Quotient ORIGINAL factorial factor2 = 2 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Quotient ORIGINAL factorial factor3 := mul(2, 3) 操作後 Quotient ORIGINAL factorial factor3 = 6 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Quotient ORIGINAL factorial factor4 := mul(6, 4) 操作後 Quotient ORIGINAL factorial factor4 = 24 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Quotient ORIGINAL factorial factor5 := mul(24, 5) 操作後 Quotient ORIGINAL factorial factor5 = 120 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Quotient ORIGINAL factorial factor6 := mul(120, 6) 操作後 Quotient ORIGINAL factorial factor6 = 720 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Quotient ORIGINAL factorial factor7 := mul(720, 7) 操作後 Quotient ORIGINAL factorial factor7 = 5040 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Quotient ORIGINAL factorial factor8 := mul(5040, 8) 操作後 Quotient ORIGINAL factorial factor8 = 40320 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Quotient ORIGINAL permutations divided by subset orderings := div(40320, 40320) 操作後 Quotient ORIGINAL permutations divided by subset orderings = 1 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Quotient ORIGINAL permutations over combinations := div(40320, 1) 操作後 Quotient ORIGINAL permutations over combinations = 40320 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 source roles = [8, 8, 40320, 1] 操作後 derived = [40320, 40320] 條件：無 每個k元素subset恰有k!種次序，ordered selections依其底層subset分成等大fibers，故P=C*k!且C>0，P/C=k!。k=0仍1/1=1，不是估計比率或機率。 步驟識別與依賴規則：Selection_EVERY_k_subset_has_k_factorial_orderings · 依賴：G001, S020 ## 逐步反向核對 - S021 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL permutations over combinations，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL permutations divided by subset orderings，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor8，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor7，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor6，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor5，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor4，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor3，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position8，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position7，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position6，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position5，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position4，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position3，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 - S001 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 ## 結論 40320 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: bd861db73f07a757e9aee9c1393bd58d54d4fc87538e4064e22a845d4514e91c - candidate record SHA-256: bda8b94a3cdffb183ef14567e0756fb2acbe9eef2f7b20baf9dec0cf9428a511 - semantic review receipt SHA-256: c89efa383b67bb2cf25bcf16160b9f5f614bbe5e5e791f4d7f58234d17a3371c - question-first witness SHA-256: 12766d451c5375842b4fc2843ae94807ec55f15763a916558026912a13873d57 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20260930-r06-permutation-combination-quotient-0021.json)