# 第 3574 題：有限論域的數值最小反例 [返回所在分頁 18](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/18/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261003-advance-20261004-r02-counterexample-foundations/#q-20261003-advance-20261004-r02-counterexample-0049) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0006-03574 · q-20261003-advance-20261004-r02-counterexample-0049 ## 原題與已知條件 明示有限論域 U={11, 12, 14, 16}，整數條件 P(x)：x 是非零整數 4 的整數倍，待檢驗全稱 ∀x∈U P(x)。數值最小的合法反例為何？沒有反例時答「不存在」。 - G001 — 明示有限論域 U={11, 12, 14, 16}，整數條件 P(x)：x 是非零整數 4 的整數倍，待檢驗全稱 ∀x∈U P(x)。數值最小的合法反例為何？沒有反例時答「不存在」。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-counterexample](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-counterexample/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 U={11, 12, 14, 16};predicate=multiple 4 操作後 a counterexample requires c∈U and P(c)=False 條件：無 反例要同時符合論域資格與述詞失敗；域外整數即使使公式失敗，也不反駁此受限全稱。 步驟識別與依賴規則：finite_counterexample_domain · 依賴：G001 S002 · implies操作前 test 4 divides 11 操作後 11=2·4+3 條件：無 非零除數的絕對值可作正除數；餘數0當且僅當原整數整除。 步驟識別與依賴規則：predicate_divisibility_remainder · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 x=11;predicate=multiple 4 操作後 P(11)=否 條件：無 把這個整數完整代入宣告的條件；判定公式真值不會自行改變它的論域資格。 步驟識別與依賴規則：explicit_predicate_value · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 test 4 divides 12 操作後 12=3·4+0 條件：無 非零除數的絕對值可作正除數；餘數0當且僅當原整數整除。 步驟識別與依賴規則：predicate_divisibility_remainder · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 x=12;predicate=multiple 4 操作後 P(12)=是 條件：無 把這個整數完整代入宣告的條件；判定公式真值不會自行改變它的論域資格。 步驟識別與依賴規則：explicit_predicate_value · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 test 4 divides 14 操作後 14=3·4+2 條件：無 非零除數的絕對值可作正除數；餘數0當且僅當原整數整除。 步驟識別與依賴規則：predicate_divisibility_remainder · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 x=14;predicate=multiple 4 操作後 P(14)=否 條件：無 把這個整數完整代入宣告的條件；判定公式真值不會自行改變它的論域資格。 步驟識別與依賴規則：explicit_predicate_value · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 test 4 divides 16 操作後 16=4·4+0 條件：無 非零除數的絕對值可作正除數；餘數0當且僅當原整數整除。 步驟識別與依賴規則：predicate_divisibility_remainder · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 x=16;predicate=multiple 4 操作後 P(16)=是 條件：無 把這個整數完整代入宣告的條件；判定公式真值不會自行改變它的論域資格。 步驟識別與依賴規則：explicit_predicate_value · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 [[11, 否], [12, 是], [14, 否], [16, 是]] 操作後 all finite-domain failures={11, 14} 條件：無 逐一涵蓋整個明示有限論域；空U的全稱為空真且沒有反例，不外推到更大或無限論域。 步驟識別與依賴規則：complete_finite_failure_inventory · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 {11, 14} 操作後 11 條件：無 以數值排序選最小合法反例，不按原始列序；無反例則明示不存在。 步驟識別與依賴規則：least_numeric_failure · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 the explicitly declared finite exercise 操作後 no inference about an unspecified infinite domain 條件：無 完整枚舉可以決定這個有限全稱，但不把有限成功或無反例當作無限論域的普遍證明。 步驟識別與依賴規則：finite_logic_scope · 依賴：G001, S011 ## 逐步反向核對 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 11 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8727da34f545a1499f8eb260b27b5db3ffbc32ef0c8f0dbc849e0a36e83ac819 - candidate record SHA-256: e82f791a6780e36853129ec9574a785f0866c7030842a0b70301fb819d7539f2 - semantic review receipt SHA-256: 568eefd71709ac3dc16a0d5b3b4ad3e83376a8ef300c9e5493eee0721500b29d - question-first witness SHA-256: d964b91bedb9d4918bbc055f567762a09f5a58af6c876268e719d5100332d855 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261003-advance-20261004-r02-counterexample-0049.json)