# 第 32974 題：精確有理候選的雙列驗證 [返回所在分頁 165](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/165/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261003-advance-20261004-r06-system-linear-equations-foundations/#q-20261003-advance-20261004-r06-system-linear-equations-0074) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0064-32974 · q-20261003-advance-20261004-r06-system-linear-equations-0074 ## 原題與已知條件 實數論域中兩個限制 (2)x+(3)y=10 與 (4)x+(-3)y=23 必須同時成立。最簡正分母候選 x=6/1、y=-1/3 是否滿足整個系統？ - G001 — 實數論域中兩個限制 (2)x+(3)y=10 與 (4)x+(-3)y=23 必須同時成立。最簡正分母候選 x=6/1、y=-1/3 是否滿足整個系統？ ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-system-linear-equations](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-system-linear-equations/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-linear-system-solution-verification, verify_solution, reals, []] 操作後 derived = [[ALL_rows_YesNo_STRING]] 條件：無 legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。 步驟識別與依賴規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [[[2, 3, 10], [4, -3, 23]]] 操作後 derived = [[coefficient_x, coefficient_y, right_side]] 條件：無 原兩row各[a,b,c]代表ax+by=c，第三欄是rhs，不是矩陣係數。全部6個raw都SAFE先驗，D題未用rhs也不能略過；原row次序不改。 步驟識別與依賴規則：System_RAW_exact2_augmented_rows3_ALL_SAFEincl_unused_rhs · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 System ORIGINAL a times e main product := mul(2, -3) 操作後 System ORIGINAL a times e main product = -6 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 System ORIGINAL b times d other product := mul(3, 4) 操作後 System ORIGINAL b times d other product = 12 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 System ORIGINAL signed determinant ae minus bd := sub(-6, 12) 操作後 System ORIGINAL signed determinant ae minus bd = -18 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [[[2, 3, 10], [4, -3, 23]]] 操作後 derived = [-6, 12, -18] 條件：無 D=ae−bd只取兩row前兩欄，保原row順序與符號；rhs不算入，row交換會改D符號，不用semantic排序代替原資料。 步驟識別與依賴規則：System_DETERMINANT_coefficients_ONLY_raw_order_sign · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [x candidate, [6, 1]] 操作後 derived = [6/1] 條件：無 raw候選必已最簡且den正非0，0只能0/1；不是把不合法候選先normalize成另一個值再答。所有分量先驗，包括零row系統。 步驟識別與依賴規則：System_RAW_candidate_fraction_ALREADY_reduced_positive_den · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [y candidate, [-1, 3]] 操作後 derived = [-1/3] 條件：無 raw候選必已最簡且den正非0，0只能0/1；不是把不合法候選先normalize成另一個值再答。所有分量先驗，包括零row系統。 步驟識別與依賴規則：System_RAW_candidate_fraction_ALREADY_reduced_positive_den · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 System candidate ORIGINAL two positive denominators product := mul(1, 3) 操作後 System candidate ORIGINAL two positive denominators product = 3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 System cleared row0 ORIGINAL coefficient x times numerator := mul(2, 6) 操作後 System cleared row0 ORIGINAL coefficient x times numerator = 12 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 System cleared row0 ORIGINAL x term times y denominator := mul(12, 3) 操作後 System cleared row0 ORIGINAL x term times y denominator = 36 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 System cleared row0 ORIGINAL coefficient y times numerator := mul(3, -1) 操作後 System cleared row0 ORIGINAL coefficient y times numerator = -3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 System cleared row0 ORIGINAL y term times x denominator := mul(-3, 1) 操作後 System cleared row0 ORIGINAL y term times x denominator = -3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 System cleared row0 ORIGINAL rhs times both denominators := mul(10, 3) 操作後 System cleared row0 ORIGINAL rhs times both denominators = 30 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 System cleared row0 ORIGINAL two left terms sum := sum(36, -3) 操作後 System cleared row0 ORIGINAL two left terms sum = 33 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 System cleared row0 ORIGINAL residual := sub(33, 30) 操作後 System cleared row0 ORIGINAL residual = 3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [0, 2, 3, 10, 6, 1, -1, 3] 操作後 derived = [36, -3, 30, 3, 否] 條件：無 同乘兩個正非零den，不改等式真假；逐列驗u*xn*yd+v*yn*xd−w*xd*yd=0。不能只驗一row，也沒有額外D非0門檻。 步驟識別與依賴規則：System_CANDIDATE_EACH_row_clear_BOTH_nonzero_denominators · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 System cleared row1 ORIGINAL coefficient x times numerator := mul(4, 6) 操作後 System cleared row1 ORIGINAL coefficient x times numerator = 24 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 System cleared row1 ORIGINAL x term times y denominator := mul(24, 3) 操作後 System cleared row1 ORIGINAL x term times y denominator = 72 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 System cleared row1 ORIGINAL coefficient y times numerator := mul(-3, -1) 操作後 System cleared row1 ORIGINAL coefficient y times numerator = 3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 System cleared row1 ORIGINAL y term times x denominator := mul(3, 1) 操作後 System cleared row1 ORIGINAL y term times x denominator = 3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 System cleared row1 ORIGINAL rhs times both denominators := mul(23, 3) 操作後 System cleared row1 ORIGINAL rhs times both denominators = 69 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 System cleared row1 ORIGINAL two left terms sum := sum(72, 3) 操作後 System cleared row1 ORIGINAL two left terms sum = 75 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 System cleared row1 ORIGINAL residual := sub(75, 69) 操作後 System cleared row1 ORIGINAL residual = 6 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 source roles = [1, 4, -3, 23, 6, 1, -1, 3] 操作後 derived = [72, 3, 69, 6, 否] 條件：無 同乘兩個正非零den，不改等式真假；逐列驗u*xn*yd+v*yn*xd−w*xd*yd=0。不能只驗一row，也沒有額外D非0門檻。 步驟識別與依賴規則：System_CANDIDATE_EACH_row_clear_BOTH_nonzero_denominators · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 x term := mul(2, 6) 操作後 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 x term = 12 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 y term := mul(3, -1/3) 操作後 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 y term = -1 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 terms sum := sum(12, -1) 操作後 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 terms sum = 11 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs := sub(11, 10) 操作後 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs = 1 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 source roles = [Candidate direct reverse, 0, 2, 3, 10, 6/1, -1/3] 操作後 derived = [12, -1, 11, 1/1] 條件：無 逐原row以原係數及rhs回代，全部殘差0才解整個系統，不是只驗整理過的一列。 步驟識別與依賴規則：System_EACH_original_row_reverse_exact_substitution · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 x term := mul(4, 6) 操作後 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 x term = 24 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 y term := mul(-3, -1/3) 操作後 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 y term = 1 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 terms sum := sum(24, 1) 操作後 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 terms sum = 25 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs := sub(25, 23) 操作後 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs = 2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 source roles = [Candidate direct reverse, 1, 4, -3, 23, 6/1, -1/3] 操作後 derived = [24, 1, 25, 2/1] 條件：無 逐原row以原係數及rhs回代，全部殘差0才解整個系統，不是只驗整理過的一列。 步驟識別與依賴規則：System_EACH_original_row_reverse_exact_substitution · 依賴：G001, S034 ## 逐步反向核對 - S035 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 terms sum，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 y term，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 x term，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 terms sum，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 y term，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 x term，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row1 ORIGINAL residual，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row1 ORIGINAL two left terms sum，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row1 ORIGINAL rhs times both denominators，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row1 ORIGINAL y term times x denominator，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row1 ORIGINAL coefficient y times numerator，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row1 ORIGINAL x term times y denominator，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row1 ORIGINAL coefficient x times numerator，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row0 ORIGINAL residual，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row0 ORIGINAL two left terms sum，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row0 ORIGINAL rhs times both denominators，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row0 ORIGINAL y term times x denominator，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row0 ORIGINAL coefficient y times numerator，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row0 ORIGINAL x term times y denominator，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row0 ORIGINAL coefficient x times numerator，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System candidate ORIGINAL two positive denominators product，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL signed determinant ae minus bd，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL b times d other product，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL a times e main product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 否 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 21deef37be972d5b82f983114b5b0fa6b60df7a917116544218b0a870560d104 - candidate record SHA-256: 40212cfacce6e588f95a73c973f84a35237ad809cc42d4b706b1e5a12755d428 - semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183b - question-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261003-advance-20261004-r06-system-linear-equations-0074.json)