# 第 32991 題：非零行列式的精確唯一解 [返回所在分頁 165](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/165/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261003-advance-20261004-r06-system-linear-equations-foundations/#q-20261003-advance-20261004-r06-system-linear-equations-0091) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0064-32991 · q-20261003-advance-20261004-r06-system-linear-equations-0091 ## 原題與已知條件 實數論域中兩個限制 (1)x+(1)y=3 與 (1)x+(-2)y=-2 必須同時成立，且 D≠0。求精確有理數解 (x,y)，各分量採最簡正分母 p/q。 - G001 — 實數論域中兩個限制 (1)x+(1)y=3 與 (1)x+(-2)y=-2 必須同時成立，且 D≠0。求精確有理數解 (x,y)，各分量採最簡正分母 p/q。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-system-linear-equations](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-system-linear-equations/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-linear-system-unique-solve, unique_solve, reals, []] 操作後 derived = [[solution_pair_fractions_RETAIN1]] 條件：無 legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。 步驟識別與依賴規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [[[1, 1, 3], [1, -2, -2]]] 操作後 derived = [[coefficient_x, coefficient_y, right_side]] 條件：無 原兩row各[a,b,c]代表ax+by=c，第三欄是rhs，不是矩陣係數。全部6個raw都SAFE先驗，D題未用rhs也不能略過；原row次序不改。 步驟識別與依賴規則：System_RAW_exact2_augmented_rows3_ALL_SAFEincl_unused_rhs · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 System ORIGINAL a times e main product := mul(1, -2) 操作後 System ORIGINAL a times e main product = -2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 System ORIGINAL b times d other product := mul(1, 1) 操作後 System ORIGINAL b times d other product = 1 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 System ORIGINAL signed determinant ae minus bd := sub(-2, 1) 操作後 System ORIGINAL signed determinant ae minus bd = -3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [[[1, 1, 3], [1, -2, -2]]] 操作後 derived = [-2, 1, -3] 條件：無 D=ae−bd只取兩row前兩欄，保原row順序與符號；rhs不算入，row交換會改D符號，不用semantic排序代替原資料。 步驟識別與依賴規則：System_DETERMINANT_coefficients_ONLY_raw_order_sign · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Cramer ORIGINAL c times e := mul(3, -2) 操作後 Cramer ORIGINAL c times e = -6 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Cramer ORIGINAL b times f := mul(1, -2) 操作後 Cramer ORIGINAL b times f = -2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Cramer ORIGINAL numerator x ce minus bf := sub(-6, -2) 操作後 Cramer ORIGINAL numerator x ce minus bf = -4 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Cramer ORIGINAL a times f := mul(1, -2) 操作後 Cramer ORIGINAL a times f = -2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Cramer ORIGINAL c times d := mul(3, 1) 操作後 Cramer ORIGINAL c times d = 3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Cramer ORIGINAL numerator y af minus cd := sub(-2, 3) 操作後 Cramer ORIGINAL numerator y af minus cd = -5 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Cramer ORIGINAL x numerator over NONZERO D := div(-4, -3) 操作後 Cramer ORIGINAL x numerator over NONZERO D = 4/3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Cramer ORIGINAL y numerator over NONZERO D := div(-5, -3) 操作後 Cramer ORIGINAL y numerator over NONZERO D = 5/3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Cramer reverse ORIGINAL row0 x term := mul(1, 4/3) 操作後 Cramer reverse ORIGINAL row0 x term = 4/3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Cramer reverse ORIGINAL row0 y term := mul(1, 5/3) 操作後 Cramer reverse ORIGINAL row0 y term = 5/3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Cramer reverse ORIGINAL row0 terms sum := sum(4/3, 5/3) 操作後 Cramer reverse ORIGINAL row0 terms sum = 3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Cramer reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs := sub(3, 3) 操作後 Cramer reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [Cramer reverse, 0, 1, 1, 3, 4/3, 5/3] 操作後 derived = [4/3, 5/3, 3, 0/1] 條件：無 逐原row以原係數及rhs回代，全部殘差0才解整個系統，不是只驗整理過的一列。 步驟識別與依賴規則：System_EACH_original_row_reverse_exact_substitution · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Cramer reverse ORIGINAL row1 x term := mul(1, 4/3) 操作後 Cramer reverse ORIGINAL row1 x term = 4/3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Cramer reverse ORIGINAL row1 y term := mul(-2, 5/3) 操作後 Cramer reverse ORIGINAL row1 y term = -10/3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Cramer reverse ORIGINAL row1 terms sum := sum(4/3, -10/3) 操作後 Cramer reverse ORIGINAL row1 terms sum = -2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Cramer reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs := sub(-2, -2) 操作後 Cramer reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 source roles = [Cramer reverse, 1, 1, -2, -2, 4/3, 5/3] 操作後 derived = [4/3, -10/3, -2, 0/1] 條件：無 逐原row以原係數及rhs回代，全部殘差0才解整個系統，不是只驗整理過的一列。 步驟識別與依賴規則：System_EACH_original_row_reverse_exact_substitution · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 source roles = [[[1, 1, 3], [1, -2, -2]], -3] 操作後 derived = [-4, -5, 4/3, 5/3] 條件：無 D非0才除，x=(ce−bf)/D、y=(af−cd)/D，正den約分且保/1，兩原row已回代。任兩解的差解齊次式，消去得DΔx=DΔy=0，所以差0而唯一；域是R，不是整數單位條件。 步驟識別與依賴規則：System_CRAMER_NONZERO_D_BOTH_fractions_and_uniqueness · 依賴：G001, S024 ## 逐步反向核對 - S025 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S024 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row1 terms sum，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row1 y term，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row1 x term，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row0 terms sum，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row0 y term，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row0 x term，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL y numerator over NONZERO D，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL x numerator over NONZERO D，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL numerator y af minus cd，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL c times d，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL a times f，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL numerator x ce minus bf，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL b times f，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL c times e，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL signed determinant ae minus bd，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL b times d other product，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL a times e main product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 (4/3, 5/3) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 6a4d0fa42049a13ba44197ae7d0d842ff95fe25e5d039653fac420fee73a8211 - candidate record SHA-256: 53d338c65ed1ba6a964bed5bbfc5a960fa07bd921c3628063abb52578c6e0788 - semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183b - question-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261003-advance-20261004-r06-system-linear-equations-0091.json)