# 第 3130 題：兩方向條件機率的數值比較

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0005-03130 · q-20261003-advance-20261004-r07-conditional-probability-0080



## 原題與已知條件

明示非空 S={-8, -7, -6, -5}、事件族 F=𝒫(S)，依 S 順序的非負權重為 [1/13, 1/13, 6/13, 5/13]，總和恰為一。A={-7, -5}，B={-8, -7, -6, -5} 且 P(A)、P(B)>0。P(A|B) 與 P(B|A) 是否相等？


- G001 — 明示非空 S={-8, -7, -6, -5}、事件族 F=𝒫(S)，依 S 順序的非負權重為 [1/13, 1/13, 6/13, 5/13]，總和恰為一。A={-7, -5}，B={-8, -7, -6, -5} 且 P(A)、P(B)>0。P(A|B) 與 P(B|A) 是否相等？





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-conditional-probability](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-conditional-probability/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

S={-8, -7, -6, -5};A={-7, -5};B={-8, -7, -6, -5};F=𝒫(S)

操作後

events are declared subsets;conditioning needs P(B)>0

條件：無

𝒫(S)是事件的全冪集，不是機率值；非空事件也可能機率0。只問B的條件化資格時，不另假設未給定的A。

步驟識別與依賴規則：conditional_model_domain · 依賴：G001





S002 · implies操作前

A={-7, -5};B={-8, -7, -6, -5}

操作後

A∩B={-7, -5}

條件：無

交集只保留同時在A和B中的結果，並集或兩事件的獨立性都不是本步前提。

步驟識別與依賴規則：explicit_event_intersection · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

total weight numerator := sum(1, 1, 6, 5)

操作後

total weight numerator = 13

條件：無

非負權重必須和共同正分母相同，才是總機率1。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

[[-8, 1], [-7, 1], [-6, 6], [-5, 5]]

操作後

weights sum to 13;normalization verified

條件：無

權重依原S順序對齊，不可排序S卻把權重留在原位置。

步驟識別與依賴規則：weight_alignment_and_normalization · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

B weight numerator := sum(1, 1, 6, 5)

操作後

B weight numerator = 13

條件：無

依事件內每個結果的對齊權重相加；零質量結果不變成正質量。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

B probability mass := div(13, 13)

操作後

B probability mass = 1

條件：無

除以共同正分母得到精確機率。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

A∩B weight numerator := sum(1, 5)

操作後

A∩B weight numerator = 6

條件：無

依事件內每個結果的對齊權重相加；零質量結果不變成正質量。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

A∩B probability mass := div(6, 13)

操作後

A∩B probability mass = 6/13

條件：無

除以共同正分母得到精確機率。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

P(A|B) := div(6/13, 1)

操作後

P(A|B) = 6/13

條件：無

依定義用交集機率除以正的P(B)，不擅自相乘P(A)與P(B)。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

P(A∩B)=6/13;P(B)=1>0

操作後

P(A|B)=6/13

條件：無

比值只在已核對的正條件分母下使用；機率0的交集仍可合法得到條件值0。

步驟識別與依賴規則：conditional_ratio_positive_guard · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

A weight numerator := sum(1, 5)

操作後

A weight numerator = 6

條件：無

依事件內每個結果的對齊權重相加；零質量結果不變成正質量。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

A probability mass := div(6, 13)

操作後

A probability mass = 6/13

條件：無

除以共同正分母得到精確機率。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

P(B|A) := div(6/13, 6/13)

操作後

P(B|A) = 1

條件：無

反方向使用另一個正分母P(A)，不能沿用P(B)。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

P(A|B)=6/13;P(B|A)=1

操作後

equal=否

條件：無

兩方向相等只是一個數值關係，並不證獨立；獨立另需P(A∩B)=P(A)P(B)，例如不交但都正機率時兩方向皆0卻不獨立。

步驟識別與依賴規則：conditional_direction_not_independence · 依賴：G001, S013









## 逐步反向核對


- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(B|A)，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A probability mass，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A weight numerator，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(A|B)，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A∩B probability mass，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A∩B weight numerator，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B probability mass，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B weight numerator，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total weight numerator，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

否

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 550b57d0c27b4cb8276753bb0967f12f938bd59e10d6972433327cf95f754dc0
- candidate record SHA-256: a4b10a01ca132b419f3db4258c20e8c0667ffa09ab52a457bc2d23bd8db0fa2e
- semantic review receipt SHA-256: 5d74de11610ebc6037a4fc9946d77154d4ed18389f8f0feeb823148b6320c4c2
- question-first witness SHA-256: 1fba4ab0f13c2cfcc4d9fdebe492c442d43dd45700394a443daa28f333355ed9
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261003-advance-20261004-r07-conditional-probability-0080.json)