# 第 28289 題：完全平方數的主平方根

[返回所在分頁 142](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/142/)

[← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261003-r01-power-root-foundations/#q-20261003-r01-power-root-0064)

本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0055-28289 · q-20261003-r01-power-root-0064



## 原題與已知條件

在非負實數上取主平方根，求 √169 的精確非負值。


- G001 — 在非負實數上取主平方根，求 √169 的精確非負值。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-power-root](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-root/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [qf-principal-square-root-exact, principal_sqrt]

操作後

derived = [[single_nonnegative_exact_integer_root]]

條件：無

此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。

步驟識別與依賴規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square0 := mul(85, 85)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square0 = 7225

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 169, 0, [0, 170], 85]

操作後

derived = [7225, 否, 0, 85]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square1 := mul(42, 42)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square1 = 1764

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 169, 1, [0, 85], 42]

操作後

derived = [1764, 否, 0, 42]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square2 := mul(21, 21)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square2 = 441

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 169, 2, [0, 42], 21]

操作後

derived = [441, 否, 0, 21]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square3 := mul(10, 10)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square3 = 100

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 169, 3, [0, 21], 10]

操作後

derived = [100, 是, 10, 21]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square4 := mul(15, 15)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square4 = 225

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 169, 4, [10, 21], 15]

操作後

derived = [225, 否, 10, 15]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square5 := mul(12, 12)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square5 = 144

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 169, 5, [10, 15], 12]

操作後

derived = [144, 是, 12, 15]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square6 := mul(13, 13)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square6 = 169

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 169, 6, [12, 15], 13]

操作後

derived = [169, 是, 13, 15]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S014





S016 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square7 := mul(14, 14)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square7 = 196

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 169, 7, [13, 15], 14]

操作後

derived = [196, 否, 13, 14]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S016





S018 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal root square := mul(13, 13)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal root square = 169

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal successor square := mul(14, 14)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal successor square = 196

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 169, 13, 14]

操作後

derived = [169, 196]

條件：無

相鄰整數bracket證floor sqrt=low；exact root另核low²=n，主平方根只取非負分支。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_terminal_floor_and_single_nonnegative_branch · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

source roles = [169]

操作後

derived = [13, 是]

條件：無

核root²=r且root非負，因非負square單調所以唯一；不能把正負兩個方程根都當主平方根。

步驟識別與依賴規則：Legacy_PERFECT_square_exact_NONNEGATIVE_principal_root · 依賴：G001, S020









## 逐步反向核對


- S021 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S020 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand terminal successor square，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand terminal root square，不以小數近似替代。
- S017 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square7，不以小數近似替代。
- S015 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square6，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square5，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square4，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square3，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square2，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square1，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square0，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。





## 結論

13

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 8ebafb214c1e9afcbe1cbb6d855564e0cefe9b2396c9704423a732130d190f5a
- candidate record SHA-256: 12346238cd826dd1ce4334d24365a3a15f1c184a94462da305ac14ba95a7111f
- semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683
- question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261003-r01-power-root-0064.json)