# 第 28298 題：完全平方數的主平方根

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0055-28298 · q-20261003-r01-power-root-0073



## 原題與已知條件

在非負實數上取主平方根，求 √484 的精確非負值。


- G001 — 在非負實數上取主平方根，求 √484 的精確非負值。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-power-root](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-root/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [qf-principal-square-root-exact, principal_sqrt]

操作後

derived = [[single_nonnegative_exact_integer_root]]

條件：無

此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。

步驟識別與依賴規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square0 := mul(242, 242)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square0 = 58564

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 484, 0, [0, 485], 242]

操作後

derived = [58564, 否, 0, 242]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square1 := mul(121, 121)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square1 = 14641

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 484, 1, [0, 242], 121]

操作後

derived = [14641, 否, 0, 121]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square2 := mul(60, 60)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square2 = 3600

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 484, 2, [0, 121], 60]

操作後

derived = [3600, 否, 0, 60]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square3 := mul(30, 30)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square3 = 900

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 484, 3, [0, 60], 30]

操作後

derived = [900, 否, 0, 30]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square4 := mul(15, 15)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square4 = 225

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 484, 4, [0, 30], 15]

操作後

derived = [225, 是, 15, 30]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square5 := mul(22, 22)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square5 = 484

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 484, 5, [15, 30], 22]

操作後

derived = [484, 是, 22, 30]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square6 := mul(26, 26)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square6 = 676

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 484, 6, [22, 30], 26]

操作後

derived = [676, 否, 22, 26]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S014





S016 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square7 := mul(24, 24)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square7 = 576

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 484, 7, [22, 26], 24]

操作後

derived = [576, 否, 22, 24]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S016





S018 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square8 := mul(23, 23)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square8 = 529

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 484, 8, [22, 24], 23]

操作後

derived = [529, 否, 22, 23]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S018





S020 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal root square := mul(22, 22)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal root square = 484

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019





S021 · calculation操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal successor square := mul(23, 23)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal successor square = 529

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 484, 22, 23]

操作後

derived = [484, 529]

條件：無

相鄰整數bracket證floor sqrt=low；exact root另核low²=n，主平方根只取非負分支。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_terminal_floor_and_single_nonnegative_branch · 依賴：G001, S021





S023 · implies操作前

source roles = [484]

操作後

derived = [22, 是]

條件：無

核root²=r且root非負，因非負square單調所以唯一；不能把正負兩個方程根都當主平方根。

步驟識別與依賴規則：Legacy_PERFECT_square_exact_NONNEGATIVE_principal_root · 依賴：G001, S022









## 逐步反向核對


- S023 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S022 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand terminal successor square，不以小數近似替代。
- S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand terminal root square，不以小數近似替代。
- S019 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square8，不以小數近似替代。
- S017 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square7，不以小數近似替代。
- S015 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square6，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square5，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square4，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square3，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square2，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square1，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square0，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。





## 結論

22

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 34197c446da3844ac4fdc5b1ef2de17c1844d094a6e37b11cf8c5923096e4c94
- candidate record SHA-256: fce252f0c9eb35fb5f1fbe69a62009a02bf0e0583d9fae2e1ebe36b7a2281988
- semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683
- question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261003-r01-power-root-0073.json)