# 第 34291 題：多項式精確代入 [返回所在分頁 172](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/172/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261003-r02-polynomial-foundations/#q-20261003-r02-polynomial-0016) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0067-34291 · q-20261003-r02-polynomial-0016 ## 原題與已知條件 本題 Q[x] 的整數係數向量由低次至高次排列。p 的係數為 [3, -2, -1]，求 p(3) 的精確值。 - G001 — 本題 Q[x] 的整數係數向量由低次至高次排列。p 的係數為 [3, -2, -1]，求 p(3) 的精確值。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-polynomial](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-polynomial-exact-evaluation, [coefficients, operation, x]] 操作後 derived = [evaluate, no-invented-domain] 條件：無 按本bank核keys與operation/domain：legacy為各表underscore，MOD50用local hyphen；BASE參數較寬不加未知欄限制。Number.isInteger與SAFE兩種來源界分開，原JSON數字表示仍完整保存。 步驟識別與依賴規則：R67_SOURCE_specific_keys_operation_domain_and_numeric_bank · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [polynomial ORIGINAL, [3, -2, -1]] 操作後 derived = [[3, -2, -1], [3, -2, -1]] 條件：無 Q[x]的係數按低次到高次，raw長0..32、每格先驗SAFE，包括尾端0；只刪trailing zeros，不刪內部0。零多項式內部空向量，顯示[0]，不可改原source向量。 步驟識別與依賴規則：Polynomial_RAW_ALL_SAFE_coefficients_trim_ONLY_trailing_zero · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Horner ORIGINAL prefix times x at degree2 := mul(0, 3) 操作後 Horner ORIGINAL prefix times x at degree2 = 0 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Horner ORIGINAL add coefficient at degree2 := sum(0, -1) 操作後 Horner ORIGINAL add coefficient at degree2 = -1 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Horner ORIGINAL prefix times x at degree1 := mul(-1, 3) 操作後 Horner ORIGINAL prefix times x at degree1 = -3 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Horner ORIGINAL add coefficient at degree1 := sum(-3, -2) 操作後 Horner ORIGINAL add coefficient at degree1 = -5 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Horner ORIGINAL prefix times x at degree0 := mul(-5, 3) 操作後 Horner ORIGINAL prefix times x at degree0 = -15 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Horner ORIGINAL add coefficient at degree0 := sum(-15, 3) 操作後 Horner ORIGINAL add coefficient at degree0 = -12 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [[3, -2, -1], 3] 操作後 derived = [-12] 條件：無 由最高冪往下反覆乘x再加本係數，涵蓋全部係數；zero polynomial空loop值0。這只求本x的值，不以兩式單點相等認證恆等式，也不限制衍生整數大小。 步驟識別與依賴規則：Polynomial_HORNER_complete_exact_evaluation_NOT_identity · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Horner ORIGINAL add coefficient at degree0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Horner ORIGINAL prefix times x at degree0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Horner ORIGINAL add coefficient at degree1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Horner ORIGINAL prefix times x at degree1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Horner ORIGINAL add coefficient at degree2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Horner ORIGINAL prefix times x at degree2，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 - S001 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 ## 結論 -12 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 5743e26512f66d44990d9c321b1a025ad14da4d4b8aede4ac14fa4d2cb6ef17f - candidate record SHA-256: ca3043ac16e5754ac0989f6b068f597d8cfcc9c4cbc12ec4053065c2dd822b24 - semantic review receipt SHA-256: c89efa383b67bb2cf25bcf16160b9f5f614bbe5e5e791f4d7f58234d17a3371c - question-first witness SHA-256: 12766d451c5375842b4fc2843ae94807ec55f15763a916558026912a13873d57 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261003-r02-polynomial-0016.json)