# 第 10004 題：驗證平方差係數身份 [返回所在分頁 51](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/51/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261003-r03-factorization-foundations/#q-20261003-r03-factorization-0079) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0019-10004 · q-20261003-r03-factorization-0079 ## 原題與已知條件 在 Q[x] 中，係數向量由低次至高次排列。平方差 x²−(3)² 是否等於候選係數向量 [-8, 0, 1]？ - G001 — 在 Q[x] 中，係數向量由低次至高次排列。平方差 x²−(3)² 是否等於候選係數向量 [-8, 0, 1]？ ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-factorization](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-factorization/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 Q[x];ascending coefficients;input vectors may have trailing zeros 操作後 equality uses every normalized coefficient,not numerical sampling 條件：無 保留原因子順序與原向量，規範只刪高次尾零；不要依semantic身份排序交換原輸入，也不以單點相等代替多項式相等。 步驟識別與依賴規則：factorization_coefficient_identity_scope · 依賴：G001 S002 · implies操作前 original d=3;x^2-d^2 操作後 factors x-d and x+d;ascending vectors=[[-3, 1], [3, 1]] 條件：無 由(x−d)(x+d)=x²+dx−dx−d²，保留原d的符號；負d或d=0也依同一展開。 步驟識別與依賴規則：difference_of_squares_actual_signed_parameter · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 power k=0;left=[-3, 1];right=[3, 1] 操作後 all index pairs i+j=k=[[0, 0]] 條件：無 升冪向量的索引就是次數；只收i+j=k且兩索引各自合法的全部項，不把乘法當逐項相乘。 步驟識別與依賴規則：product_coefficient_complete_index_pairs · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 coefficient0 term0,0 := mul(-3, 3) 操作後 coefficient0 term0,0 = -9 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 coefficient0 complete sum := sum(-9) 操作後 coefficient0 complete sum = -9 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 power k=1;left=[-3, 1];right=[3, 1] 操作後 all index pairs i+j=k=[[0, 1], [1, 0]] 條件：無 升冪向量的索引就是次數；只收i+j=k且兩索引各自合法的全部項，不把乘法當逐項相乘。 步驟識別與依賴規則：product_coefficient_complete_index_pairs · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 coefficient1 term0,1 := mul(-3, 1) 操作後 coefficient1 term0,1 = -3 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 coefficient1 term1,0 := mul(1, 3) 操作後 coefficient1 term1,0 = 3 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 coefficient1 complete sum := sum(-3, 3) 操作後 coefficient1 complete sum = 0 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 power k=2;left=[-3, 1];right=[3, 1] 操作後 all index pairs i+j=k=[[1, 1]] 條件：無 升冪向量的索引就是次數；只收i+j=k且兩索引各自合法的全部項，不把乘法當逐項相乘。 步驟識別與依賴規則：product_coefficient_complete_index_pairs · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 coefficient2 term1,1 := mul(1, 1) 操作後 coefficient2 term1,1 = 1 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 coefficient2 complete sum := sum(1) 操作後 coefficient2 complete sum = 1 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 all collected product coefficients=[-9, 0, 1] 操作後 normalized complete product=[-9, 0, 1] 條件：無 全部有限係數已求出；去掉高次尾零，零多項式輸出[0]。判的是係數恆等，不是幾個點的數值吻合。 步驟識別與依賴規則：complete_product_not_sampled_values · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 power k=0;actual coefficient=-9;candidate coefficient=-8 操作後 coefficient matches=否 條件：無 兩邊缺少的高次係數按0處理，完整比較到兩邊最大次數；候選沒有被正解覆寫。 步驟識別與依賴規則：every_identity_coefficient_comparison · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 power k=1;actual coefficient=0;candidate coefficient=0 操作後 coefficient matches=是 條件：無 兩邊缺少的高次係數按0處理，完整比較到兩邊最大次數；候選沒有被正解覆寫。 步驟識別與依賴規則：every_identity_coefficient_comparison · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 power k=2;actual coefficient=1;candidate coefficient=1 操作後 coefficient matches=是 條件：無 兩邊缺少的高次係數按0處理，完整比較到兩邊最大次數；候選沒有被正解覆寫。 步驟識別與依賴規則：every_identity_coefficient_comparison · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 raw proposed=[-8, 0, 1];normalized proposed=[-8, 0, 1];actual product=[-9, 0, 1] 操作後 coefficient identity=否 條件：無 全係數都相同才是恆等；兩邊均零時也成立，常數或尾零的表示差異不造出新多項式。 步驟識別與依賴規則：factorization_final_full_identity_gate · 依賴：G001, S016 ## 逐步反向核對 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient2 complete sum，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient2 term1,1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient1 complete sum，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient1 term1,0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient1 term0,1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient0 complete sum，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient0 term0,0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 否 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 408b1a91245c57169d8fa78825fe3917806ba64742c502291e13e1bbc62ab8a8 - candidate record SHA-256: 47b798b87ce76a5caf48fa1d2f59a0ebecbe0cab2a37a89afce69325864041ef - semantic review receipt SHA-256: eeb35dc5daab92234bf72827627392b47f38ead4cfb574d4373bebc43c09fbf5 - question-first witness SHA-256: 3cf8e0d3a00b0df1994db2bfde81f4a31b382e170bdda83ea3d0b68da64e8419 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261003-r03-factorization-0079.json)