# 第 28427 題：二次方程式的精確根集合 [返回所在分頁 143](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/143/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261003-r04-quadratic-equation-foundations/#q-20261003-r04-quadratic-equation-0077) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0055-28427 · q-20261003-r04-quadratic-equation-0077 ## 原題與已知條件 在實數論域，(-1)x²+(2)x+(-1)=0 的 a≠0 且 D 為非負完全平方數。求最簡正分母、遞增且重複只列一次的根集合。 - G001 — 在實數論域，(-1)x²+(2)x+(-1)=0 的 a≠0 且 D 為非負完全平方數。求最簡正分母、遞增且重複只列一次的根集合。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-quadratic-equation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-equation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-quadratic-exact-roots, exact_roots] 操作後 derived = [[increasing_reduced_positive_denominator_root_SET_retaining1]] 條件：無 此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。 步驟識別與依賴規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Legacy quadratic ORIGINAL b squared := mul(2, 2) 操作後 Legacy quadratic ORIGINAL b squared = 4 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Legacy quadratic ORIGINAL a times c := mul(-1, -1) 操作後 Legacy quadratic ORIGINAL a times c = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Legacy quadratic ORIGINAL four times ac := mul(4, 1) 操作後 Legacy quadratic ORIGINAL four times ac = 4 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac := sub(4, 4) 操作後 Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [-1, 2, -1, 0] 操作後 derived = [4a*(a*x^2+b*x+c)=(2a*x+b)^2-D, 1] 條件：無 a非0使4a可逆，方程等價(2ax+b)²=D。D<0無實根，D0一個值，D>0兩個相異值；重根只算一次，D為不設衍生SAFE上限的BigInt。 步驟識別與依賴規則：Legacy_quadratic_GENERAL_complete_square_iff_DISTINCT_real_roots · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square := mul(0, 0) 操作後 Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square := mul(1, 1) 操作後 Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 0, 0, 1] 操作後 derived = [0, 1] 條件：無 相鄰整數bracket證floor sqrt=low；exact root另核low²=n，主平方根只取非負分支。 步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_terminal_floor_and_single_nonnegative_branch · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Legacy quadratic ORIGINAL negated b := sub(0, 2) 操作後 Legacy quadratic ORIGINAL negated b = -2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator := sub(-2, 0) 操作後 Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator = -2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator := sum(-2, 0) 操作後 Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator = -2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a := mul(2, -1) 操作後 Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a = -2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0 := div(-2, -2) 操作後 Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [0, -2, -2] 操作後 derived = [1, 1, 1/1] 條件：無 對每個原branch normalize分母正號與gcd；原den2a可負，衍生num／den不重套SAFE，整數仍顯示p/1。 步驟識別與依賴規則：Legacy_quadratic_EACH_raw_branch_positive_den_gcd_normalization · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1 := div(-2, -2) 操作後 Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [1, -2, -2] 操作後 derived = [1, 1, 1/1] 條件：無 對每個原branch normalize分母正號與gcd；原den2a可負，衍生num／den不重套SAFE，整數仍顯示p/1。 步驟識別與依賴規則：Legacy_quadratic_EACH_raw_branch_positive_den_gcd_normalization · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [-1, 0, [1/1, 1/1]] 操作後 derived = [[1/1], {1/1}] 條件：無 按有理數實值／cross products排序，不能lexical或假設minus branch一定較小（a負會反向）。D0的兩個branch同值只列一次；完整square iff也證沒有漏根。 步驟識別與依賴規則：Legacy_quadratic_EXACT_numeric_sort_and_D0_set_dedup · 依賴：G001, S017 ## 逐步反向核對 - S018 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S017 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL negated b，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL four times ac，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL a times c，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL b squared，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 ## 結論 {1/1} 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 50b07ab0cada2017f3c0b812b9b3f174e199d89f3666903af5ceb77647375087 - candidate record SHA-256: 1c7d91f4ae7ed413144ee120f76ef5ebfada44a547971c458c580d1ef32a9601 - semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683 - question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261003-r04-quadratic-equation-0077.json)