# 第 28434 題：二次方程式的精確根集合

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0055-28434 · q-20261003-r04-quadratic-equation-0084



## 原題與已知條件

在實數論域，(6)x²+(16)x+(8)=0 的 a≠0 且 D 為非負完全平方數。求最簡正分母、遞增且重複只列一次的根集合。


- G001 — 在實數論域，(6)x²+(16)x+(8)=0 的 a≠0 且 D 為非負完全平方數。求最簡正分母、遞增且重複只列一次的根集合。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-quadratic-equation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-equation/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [qf-quadratic-exact-roots, exact_roots]

操作後

derived = [[increasing_reduced_positive_denominator_root_SET_retaining1]]

條件：無

此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。

步驟識別與依賴規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL b squared := mul(16, 16)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL b squared = 256

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL a times c := mul(6, 8)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL a times c = 48

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL four times ac := mul(4, 48)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL four times ac = 192

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac := sub(256, 192)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac = 64

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

source roles = [6, 16, 8, 64]

操作後

derived = [4a*(a*x^2+b*x+c)=(2a*x+b)^2-D, 2]

條件：無

a非0使4a可逆，方程等價(2ax+b)²=D。D<0無實根，D0一個值，D>0兩個相異值；重根只算一次，D為不設衍生SAFE上限的BigInt。

步驟識別與依賴規則：Legacy_quadratic_GENERAL_complete_square_iff_DISTINCT_real_roots · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square0 := mul(32, 32)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square0 = 1024

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 64, 0, [0, 65], 32]

操作後

derived = [1024, 否, 0, 32]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square1 := mul(16, 16)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square1 = 256

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 64, 1, [0, 32], 16]

操作後

derived = [256, 否, 0, 16]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square2 := mul(8, 8)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square2 = 64

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 64, 2, [0, 16], 8]

操作後

derived = [64, 是, 8, 16]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square3 := mul(12, 12)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square3 = 144

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 64, 3, [8, 16], 12]

操作後

derived = [144, 否, 8, 12]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square4 := mul(10, 10)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square4 = 100

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 64, 4, [8, 12], 10]

操作後

derived = [100, 否, 8, 10]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S015





S017 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square5 := mul(9, 9)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square5 = 81

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 64, 5, [8, 10], 9]

操作後

derived = [81, 否, 8, 9]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square := mul(8, 8)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square = 64

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square := mul(9, 9)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square = 81

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 64, 8, 9]

操作後

derived = [64, 81]

條件：無

相鄰整數bracket證floor sqrt=low；exact root另核low²=n，主平方根只取非負分支。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_terminal_floor_and_single_nonnegative_branch · 依賴：G001, S020





S022 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL negated b := sub(0, 16)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL negated b = -16

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021





S023 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator := sub(-16, 8)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator = -24

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022





S024 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator := sum(-16, 8)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator = -8

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023





S025 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a := mul(2, 6)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a = 12

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024





S026 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0 := div(-24, 12)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0 = -2

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

source roles = [0, -24, 12]

操作後

derived = [-2, 1, -2/1]

條件：無

對每個原branch normalize分母正號與gcd；原den2a可負，衍生num／den不重套SAFE，整數仍顯示p/1。

步驟識別與依賴規則：Legacy_quadratic_EACH_raw_branch_positive_den_gcd_normalization · 依賴：G001, S026





S028 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1 := div(-8, 12)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1 = -2/3

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027





S029 · implies操作前

source roles = [1, -8, 12]

操作後

derived = [-2, 3, -2/3]

條件：無

對每個原branch normalize分母正號與gcd；原den2a可負，衍生num／den不重套SAFE，整數仍顯示p/1。

步驟識別與依賴規則：Legacy_quadratic_EACH_raw_branch_positive_den_gcd_normalization · 依賴：G001, S028





S030 · implies操作前

source roles = [6, 64, [-2/1, -2/3]]

操作後

derived = [[-2/1, -2/3], {-2/1, -2/3}]

條件：無

按有理數實值／cross products排序，不能lexical或假設minus branch一定較小（a負會反向）。D0的兩個branch同值只列一次；完整square iff也證沒有漏根。

步驟識別與依賴規則：Legacy_quadratic_EXACT_numeric_sort_and_D0_set_dedup · 依賴：G001, S029









## 逐步反向核對


- S030 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S029 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1，不以小數近似替代。
- S027 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0，不以小數近似替代。
- S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a，不以小數近似替代。
- S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator，不以小數近似替代。
- S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator，不以小數近似替代。
- S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL negated b，不以小數近似替代。
- S021 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square，不以小數近似替代。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square5，不以小數近似替代。
- S016 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square4，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square3，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square2，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square1，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square0，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL four times ac，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL a times c，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL b squared，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。





## 結論

{-2/1, -2/3}

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 6be497bc0b3c2b6649fde2e93e0daeafc4ffab3c8543ac4630515a2666a98fa3
- candidate record SHA-256: 2b0e7c01ec34794d7ca5c76e5102fbcc128637d2b800e654167c9f62157015fa
- semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683
- question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261003-r04-quadratic-equation-0084.json)