# 第 28449 題：二次方程式的精確根集合

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0055-28449 · q-20261003-r04-quadratic-equation-0099



## 原題與已知條件

在實數論域，(-6)x²+(31)x+(11)=0 的 a≠0 且 D 為非負完全平方數。求最簡正分母、遞增且重複只列一次的根集合。


- G001 — 在實數論域，(-6)x²+(31)x+(11)=0 的 a≠0 且 D 為非負完全平方數。求最簡正分母、遞增且重複只列一次的根集合。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-quadratic-equation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-equation/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [qf-quadratic-exact-roots, exact_roots]

操作後

derived = [[increasing_reduced_positive_denominator_root_SET_retaining1]]

條件：無

此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。

步驟識別與依賴規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL b squared := mul(31, 31)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL b squared = 961

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL a times c := mul(-6, 11)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL a times c = -66

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL four times ac := mul(4, -66)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL four times ac = -264

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac := sub(961, -264)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac = 1225

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

source roles = [-6, 31, 11, 1225]

操作後

derived = [4a*(a*x^2+b*x+c)=(2a*x+b)^2-D, 2]

條件：無

a非0使4a可逆，方程等價(2ax+b)²=D。D<0無實根，D0一個值，D>0兩個相異值；重根只算一次，D為不設衍生SAFE上限的BigInt。

步驟識別與依賴規則：Legacy_quadratic_GENERAL_complete_square_iff_DISTINCT_real_roots · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square0 := mul(613, 613)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square0 = 375769

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 1225, 0, [0, 1226], 613]

操作後

derived = [375769, 否, 0, 613]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square1 := mul(306, 306)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square1 = 93636

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 1225, 1, [0, 613], 306]

操作後

derived = [93636, 否, 0, 306]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square2 := mul(153, 153)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square2 = 23409

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 1225, 2, [0, 306], 153]

操作後

derived = [23409, 否, 0, 153]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square3 := mul(76, 76)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square3 = 5776

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 1225, 3, [0, 153], 76]

操作後

derived = [5776, 否, 0, 76]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square4 := mul(38, 38)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square4 = 1444

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 1225, 4, [0, 76], 38]

操作後

derived = [1444, 否, 0, 38]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S015





S017 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square5 := mul(19, 19)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square5 = 361

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 1225, 5, [0, 38], 19]

操作後

derived = [361, 是, 19, 38]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square6 := mul(28, 28)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square6 = 784

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 1225, 6, [19, 38], 28]

操作後

derived = [784, 是, 28, 38]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S019





S021 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square7 := mul(33, 33)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square7 = 1089

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 1225, 7, [28, 38], 33]

操作後

derived = [1089, 是, 33, 38]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S021





S023 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square8 := mul(35, 35)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square8 = 1225

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022





S024 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 1225, 8, [33, 38], 35]

操作後

derived = [1225, 是, 35, 38]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S023





S025 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square9 := mul(36, 36)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square9 = 1296

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 1225, 9, [35, 38], 36]

操作後

derived = [1296, 否, 35, 36]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S025





S027 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square := mul(35, 35)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square = 1225

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026





S028 · calculation操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square := mul(36, 36)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square = 1296

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027





S029 · implies操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 1225, 35, 36]

操作後

derived = [1225, 1296]

條件：無

相鄰整數bracket證floor sqrt=low；exact root另核low²=n，主平方根只取非負分支。

步驟識別與依賴規則：Legacy_isqrt_terminal_floor_and_single_nonnegative_branch · 依賴：G001, S028





S030 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL negated b := sub(0, 31)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL negated b = -31

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029





S031 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator := sub(-31, 35)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator = -66

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030





S032 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator := sum(-31, 35)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator = 4

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031





S033 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a := mul(2, -6)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a = -12

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032





S034 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0 := div(-66, -12)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0 = 11/2

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033





S035 · implies操作前

source roles = [0, -66, -12]

操作後

derived = [11, 2, 11/2]

條件：無

對每個原branch normalize分母正號與gcd；原den2a可負，衍生num／den不重套SAFE，整數仍顯示p/1。

步驟識別與依賴規則：Legacy_quadratic_EACH_raw_branch_positive_den_gcd_normalization · 依賴：G001, S034





S036 · calculation操作前

Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1 := div(4, -12)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1 = -1/3

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035





S037 · implies操作前

source roles = [1, 4, -12]

操作後

derived = [-1, 3, -1/3]

條件：無

對每個原branch normalize分母正號與gcd；原den2a可負，衍生num／den不重套SAFE，整數仍顯示p/1。

步驟識別與依賴規則：Legacy_quadratic_EACH_raw_branch_positive_den_gcd_normalization · 依賴：G001, S036





S038 · implies操作前

source roles = [-6, 1225, [11/2, -1/3]]

操作後

derived = [[-1/3, 11/2], {-1/3, 11/2}]

條件：無

按有理數實值／cross products排序，不能lexical或假設minus branch一定較小（a負會反向）。D0的兩個branch同值只列一次；完整square iff也證沒有漏根。

步驟識別與依賴規則：Legacy_quadratic_EXACT_numeric_sort_and_D0_set_dedup · 依賴：G001, S037









## 逐步反向核對


- S038 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S037 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1，不以小數近似替代。
- S035 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0，不以小數近似替代。
- S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a，不以小數近似替代。
- S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator，不以小數近似替代。
- S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator，不以小數近似替代。
- S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL negated b，不以小數近似替代。
- S029 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square，不以小數近似替代。
- S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square，不以小數近似替代。
- S026 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square9，不以小數近似替代。
- S024 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square8，不以小數近似替代。
- S022 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square7，不以小數近似替代。
- S020 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square6，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square5，不以小數近似替代。
- S016 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square4，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square3，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square2，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square1，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square0，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL four times ac，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL a times c，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL b squared，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。





## 結論

{-1/3, 11/2}

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 808cffe974115c229a515063adf009cc6d6b8874c2f30e9552c531a53aa022a9
- candidate record SHA-256: 047f99742504fdfd66217c04d36217cb663f1eb69558d845b29158113d80490f
- semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683
- question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261003-r04-quadratic-equation-0099.json)