# 第 32503 題：有限總函數的單射性 [返回所在分頁 163](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/163/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261004-advance-20261005-r01-injective-foundations/#q-20261004-advance-20261005-r01-injective-0003) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0064-32503 · q-20261004-advance-20261005-r01-injective-0003 ## 原題與已知條件 明示總函數 f:A→B，A={-1, 0}、B={1, 3, 5}，函數表為 {(-1, 1), (0, 3)}。f 是否為單射？只比較不同合法輸入，不以陪域大小作猜測。 - G001 — 明示總函數 f:A→B，A={-1, 0}、B={1, 3, 5}，函數表為 {(-1, 1), (0, 3)}。f 是否為單射？只比較不同合法輸入，不以陪域大小作猜測。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-injective](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-injective/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-injective-table-property, injective, no-required-domain, []] 操作後 derived = [[injective_YesNo_STRING]] 條件：無 legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。 步驟識別與依賴規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f domain, [-1, 0]] 操作後 derived = [[-1, 0]] 條件：無 raw集合distinct、SAFE且≤100；排序只是衍生工作表，原list及來源雜湊不變。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_RAW_distinct_SAFE_set_bound100 · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f codomain, [1, 3, 5]] 操作後 derived = [[1, 3, 5]] 條件：無 raw集合distinct、SAFE且≤100；排序只是衍生工作表，原list及來源雜湊不變。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_RAW_distinct_SAFE_set_bound100 · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, [[-1, 1], [0, 3]]] 操作後 derived = [[[-1, 1], [0, 3]]] 條件：無 先驗全部raw row長度2、SAFE且raw≤200，再把相同row視為同一有序對；不是把不同output的同input合併。空domain也不略過raw檢查。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_RAW200_bound_BEFORE_identical_row_ASSET_normalization · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 0, -1, 1, [-1, 0], [1, 3, 5]] 操作後 derived = [是, 是, 是] 條件：無 每row輸入在domain、輸出在codomain；orphan或unused row也要完整驗。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_normalized_row_declared_domain_codomain_types · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 1, 0, 3, [-1, 0], [1, 3, 5]] 操作後 derived = [是, 是, 是] 條件：無 每row輸入在domain、輸出在codomain；orphan或unused row也要完整驗。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_normalized_row_declared_domain_codomain_types · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, -1, [[-1, 1], [0, 3]]] 操作後 derived = [1, 是] 條件：無 每個declared input恰一個row才是total，不用第一個lookup掩蓋缺漏或多output。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_declared_input_exactly_one_output_row · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 0, [[-1, 1], [0, 3]]] 操作後 derived = [1, 是] 條件：無 每個declared input恰一個row才是total，不用第一個lookup掩蓋缺漏或多output。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_declared_input_exactly_one_output_row · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, [-1, 0], [1, 3, 5], [[-1, 1], [0, 3]]] 操作後 derived = [[是, 是], [1, 1], 是] 條件：無 所有row型別與所有input總性合取後才准lookup；空集合的vacuous條件不准遮掉非法row。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_TOTAL_qualification_BEFORE_lookups_even_empty_domain · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 1, [-1, 0], [[-1, 1], [0, 3]]] 操作後 derived = [[-1], 1] 條件：無 對每個codomain標記列完整preimage，包含空fiber，不把未達到的B刪掉。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EVERY_codomain_fiber_including_unattained · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 3, [-1, 0], [[-1, 1], [0, 3]]] 操作後 derived = [[0], 1] 條件：無 對每個codomain標記列完整preimage，包含空fiber，不把未達到的B刪掉。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EVERY_codomain_fiber_including_unattained · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 5, [-1, 0], [[-1, 1], [0, 3]]] 操作後 derived = [[], 0] 條件：無 對每個codomain標記列完整preimage，包含空fiber，不把未達到的B刪掉。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EVERY_codomain_fiber_including_unattained · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, [-1, 0], [1, 3, 5], [[-1], [0], []]] 操作後 derived = [是, 否, 否] 條件：無 單射為每fiber≤1，滿射為每fiber≥1，兩者才雙射；未達到B不妨礙單射。空到空可雙射，空到非空只是單射。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_injective_surjective_BOTH_needed_for_inverse · 依賴：G001, S012 ## 逐步反向核對 - S013 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S012 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S009 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S005 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S004 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 是 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: fa626c971d01bdcda2ef902f7cc6eb45715f5e5448eeb9b2e1a58d6026fa6845 - candidate record SHA-256: 3888865534826559ed12ff51ee4488bf68292ea733960a50bd5b358586c80ca3 - semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183b - question-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261004-advance-20261005-r01-injective-0003.json)