# 第 32777 題：有限雙射的反函數表

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0064-32777 · q-20261004-advance-20261005-r04-inverse-function-0002



## 原題與已知條件

明示總函數 f:A→B，A={-3, -2, -1}、B={1, 3, 5}，函數表為 {(-3, 5), (-2, 1), (-1, 3)}，且 f 已確認為雙射。求反函數 g:B→A 的完整有序對集合。


- G001 — 明示總函數 f:A→B，A={-3, -2, -1}、B={1, 3, 5}，函數表為 {(-3, 5), (-2, 1), (-1, 3)}，且 f 已確認為雙射。求反函數 g:B→A 的完整有序對集合。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-inverse-function](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-inverse-function/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [qf-inverse-function-table, inverse_table, no-required-domain, []]

操作後

derived = [[complete_inverse_pairset_STRING]]

條件：無

legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。

步驟識別與依賴規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001





S002 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL f domain, [-3, -2, -1]]

操作後

derived = [[-3, -2, -1]]

條件：無

raw集合distinct、SAFE且≤100；排序只是衍生工作表，原list及來源雜湊不變。

步驟識別與依賴規則：FiniteMap_RAW_distinct_SAFE_set_bound100 · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL f codomain, [1, 3, 5]]

操作後

derived = [[1, 3, 5]]

條件：無

raw集合distinct、SAFE且≤100；排序只是衍生工作表，原list及來源雜湊不變。

步驟識別與依賴規則：FiniteMap_RAW_distinct_SAFE_set_bound100 · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL f, [[-3, 5], [-2, 1], [-1, 3]]]

操作後

derived = [[[-3, 5], [-2, 1], [-1, 3]]]

條件：無

先驗全部raw row長度2、SAFE且raw≤200，再把相同row視為同一有序對；不是把不同output的同input合併。空domain也不略過raw檢查。

步驟識別與依賴規則：FiniteMap_RAW200_bound_BEFORE_identical_row_ASSET_normalization · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL f, 0, -3, 5, [-3, -2, -1], [1, 3, 5]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每row輸入在domain、輸出在codomain；orphan或unused row也要完整驗。

步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_normalized_row_declared_domain_codomain_types · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL f, 1, -2, 1, [-3, -2, -1], [1, 3, 5]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每row輸入在domain、輸出在codomain；orphan或unused row也要完整驗。

步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_normalized_row_declared_domain_codomain_types · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL f, 2, -1, 3, [-3, -2, -1], [1, 3, 5]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每row輸入在domain、輸出在codomain；orphan或unused row也要完整驗。

步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_normalized_row_declared_domain_codomain_types · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL f, -3, [[-3, 5], [-2, 1], [-1, 3]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

每個declared input恰一個row才是total，不用第一個lookup掩蓋缺漏或多output。

步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_declared_input_exactly_one_output_row · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL f, -2, [[-3, 5], [-2, 1], [-1, 3]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

每個declared input恰一個row才是total，不用第一個lookup掩蓋缺漏或多output。

步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_declared_input_exactly_one_output_row · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL f, -1, [[-3, 5], [-2, 1], [-1, 3]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

每個declared input恰一個row才是total，不用第一個lookup掩蓋缺漏或多output。

步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_declared_input_exactly_one_output_row · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL f, [-3, -2, -1], [1, 3, 5], [[-3, 5], [-2, 1], [-1, 3]]]

操作後

derived = [[是, 是, 是], [1, 1, 1], 是]

條件：無

所有row型別與所有input總性合取後才准lookup；空集合的vacuous條件不准遮掉非法row。

步驟識別與依賴規則：FiniteMap_TOTAL_qualification_BEFORE_lookups_even_empty_domain · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL f, 1, [-3, -2, -1], [[-3, 5], [-2, 1], [-1, 3]]]

操作後

derived = [[-2], 1]

條件：無

對每個codomain標記列完整preimage，包含空fiber，不把未達到的B刪掉。

步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EVERY_codomain_fiber_including_unattained · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL f, 3, [-3, -2, -1], [[-3, 5], [-2, 1], [-1, 3]]]

操作後

derived = [[-1], 1]

條件：無

對每個codomain標記列完整preimage，包含空fiber，不把未達到的B刪掉。

步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EVERY_codomain_fiber_including_unattained · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL f, 5, [-3, -2, -1], [[-3, 5], [-2, 1], [-1, 3]]]

操作後

derived = [[-3], 1]

條件：無

對每個codomain標記列完整preimage，包含空fiber，不把未達到的B刪掉。

步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EVERY_codomain_fiber_including_unattained · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL f, [-3, -2, -1], [1, 3, 5], [[-2], [-1], [-3]]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

單射為每fiber≤1，滿射為每fiber≥1，兩者才雙射；未達到B不妨礙單射。空到空可雙射，空到非空只是單射。

步驟識別與依賴規則：FiniteMap_injective_surjective_BOTH_needed_for_inverse · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

source roles = [[-3, -2, -1], [1, 3, 5], [[-3, 5], [-2, 1], [-1, 3]]]

操作後

derived = [[[1, -2], [3, -1], [5, -3]], {(1, -2), (3, -1), (5, -3)}]

條件：無

原map先證雙射，才把每row(x,y)換成(y,x)，依數值LEX列完整B→A反表；空雙射反表∅，不是任意converse都可當反函數。

步驟識別與依賴規則：Inverse_TABLE_actual_bijection_complete_swapped_numeric_LEX_pairs · 依賴：G001, S015









## 逐步反向核對


- S016 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S015 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S014 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S013 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S012 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S010 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S009 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S008 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S006 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S005 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S004 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S003 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
- S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。





## 結論

{(1, -2), (3, -1), (5, -3)}

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 07f19d650c3b7df8f6b57f1380c1e6c9fa7a014d85297a7cc3b7a1f2fdcd8f8a
- candidate record SHA-256: 1713fa766ff44dc55d3f9f06c6121af1afe48fd3d5aac90010ede90bdeeed8b0
- semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183b
- question-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6a
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261004-advance-20261005-r04-inverse-function-0002.json)